Longueur de tangente depuis un point extérieur √(d²−r²)
Calculez la longueur de la tangente entre un point extérieur à un cercle et l'endroit où elle le touche : un rayon de 3 et une distance de 5 au centre donnent une tangente de 4. Les points intérieurs ou sur le cercle sont refusés. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Rayon
- 3
- Distance
- 5
- Longueur de la tangente
- 4
- Longueur de la tangente au carré
- 16
Lorsqu'une droite issue d'un point extérieur à un cercle effleure la circonférence, le segment allant de ce point au point de contact est un segment de tangente. Sa longueur ne dépend que du rayon du cercle et de la distance du point au centre : L est la racine carrée de d au carré moins r au carré. Les élèves rencontrent cette identité en géométrie euclidienne, en géométrie analytique et dans les examens qui demandent la longueur d'une tangente issue d'un point extérieur donné. Ce calculateur accepte le rayon r et la distance d du centre au point, renvoie la longueur de la tangente avec une courte formule, et rejette les points intérieurs pour lesquels aucune tangente réelle n'existe.
Ce que signifie la formule de longueur de tangente
Considérez un cercle de centre O et de rayon r, et un point P extérieur tel que la distance OP vaille d avec d strictement supérieur à r. Depuis P on peut mener deux tangentes congruentes qui touchent le cercle en T et T prime. Concentrez-vous sur un point de contact T.
Le rayon OT est perpendiculaire à la droite tangente en T, de sorte que le triangle OTP est rectangle en T. Pythagore donne alors OT au carré plus PT au carré égal à OP au carré, c'est-à-dire r au carré plus L au carré égal à d au carré. En isolant le segment de tangente on obtient L égal à la racine carrée de d au carré moins r au carré.
Ce seul radical constitue tout le calcul : pas de recherche itérative de racines, pas de tables d'angles, et aucune dépendance à la position angulaire de P autour du cercle — seule la distance radiale compte. Lorsque d est inférieur à r le point est à l'intérieur du disque ; la quantité sous la racine devient négative et aucune tangente réelle de P au cercle n'existe, de sorte que le gestionnaire échoue avec un message clair plutôt que de renvoyer NaN ou une longueur complexe.
Le rayon doit être positif pour que le cercle ne soit pas dégénéré. Ensemble, ces contrôles reflètent les hypothèses géométriques du théorème et évitent les résultats imaginaires silencieux dans le code client.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Si radius n'est pas strictement positif, la requête est rejetée. Si distance n'est pas strictement positive, la requête est rejetée. Si distance est inférieure à radius, le point est à l'intérieur du cercle et la tâche échoue avec un message indiquant que le point est intérieur et que la longueur de tangente n'est pas définie.
Si distance est égale à radius, le point est sur le cercle et la tâche échoue car un point extérieur est requis. Aucun de ces échecs de validation ne consomme de solde prépayé. Les valeurs classiques de manuel fonctionnent comme prévu : rayon trois et distance cinq donnent une longueur de tangente quatre, car trois-quatre-cinq est un triplet pythagoricien avec le rayon et la tangente comme côtés de l'angle droit et l'hypoténuse le segment centre-point.
Associez le résultat numérique à votre propre schéma si vous avez besoin d'un croquis de O, P et T ; ce point de terminaison calcule uniquement la longueur et n'émet pas les coordonnées des points de contact.
Qui utilise la longueur de la tangente
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de longueur de tangente pour que les apprenants vérifient L égal à la racine de d au carré moins r au carré pour des r et d positifs arbitraires sans erreurs d'arithmétique. Les générateurs d'examens et les correcteurs automatiques LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque les points intérieurs comme invalides au lieu d'inventer une longueur.
Les aides de dessin et de CAO ont parfois besoin de la longueur libre d'une tangente depuis un point extérieur connu lorsque seules la distance au centre et le rayon sont disponibles avant le placement des coordonnées. Une validation en échec ne consomme pas de solde.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Permettez aux élèves d'envoyer le rayon r et la distance d au centre et de vérifier L = √(d²−r²) face aux contrôles pythagoriciens du manuel pour les points extérieurs.
Carnets CAO et de géométrie
Calculez la longueur libre du segment de tangente à partir de la distance au centre et du rayon dans des scripts sans importer une bibliothèque complète de géométrie computationnelle.
Questions fréquentes
Comment calculer la longueur de la tangente depuis un point extérieur ?
Envoyez des nombres finis positifs radius (r) et distance (d) avec d > r.
Que se passe-t-il si le point est à l'intérieur du cercle ?
Aucune tangente réelle n'existe depuis un point intérieur, et l'échec n'est pas facturé.
Et si le point est sur le cercle (d = r) ?
La requête est rejetée. Un point extérieur exige d strictement supérieur à r ; les points sur le cercle ne sont pas traités comme un segment de tangente extérieur positif.
La réponse dépend-elle de l'angle du point autour du cercle ?
Non. Seules la distance radiale d et le rayon r comptent. Tous les points du même cercle concentrique de rayon d partagent la même longueur de tangente.
Combien de tangentes partent d'un point extérieur, et ont-elles la même longueur ?
Il en part deux, une de chaque côté du cercle, et elles ont exactement la même longueur. Le résultat donne cette longueur commune, il suffit donc de la calculer une fois.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":3,"distance":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 3,
"distance": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 3,
"distance": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":3,"distance":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":3,"distance":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"radius": 3,
"distance": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.tangent_length_point",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que signifie la formule de longueur de tangente
Lorsque d est égal à r le point est sur la circonférence et le radical formel s'annule, mais il n'y a pas de segment de tangente extérieur au sens scolaire habituel ; cette capacité exige donc d supérieur à r et renvoie invalid_input pour les points sur le cercle.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Envoyez un corps JSON avec deux nombres finis obligatoires : radius, le rayon positif r du cercle, et distance, la distance positive d du centre au point extérieur. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; champs manquants, chaînes vides et valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant le champ. En cas de succès le corps répète radius et distance, renvoie tangent_length arrondi à douze décimales pour des goldens stables entre runtimes, renvoie tangent_length_squared comme l'intermédiaire exact d au carré moins r au carré (également arrondi pour la stabilité d'affichage) et inclut formula comme la chaîne L égal à la racine de d au carré moins r au carré.
Où une API de longueur de tangente apporte de la valeur
Comme l'implémentation est parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant. Gardez les requêtes petites, figez tangent_length arrondi dans les tests, et vous obtenez des longueurs reproductibles pour les devoirs, les plugins LMS et les workers en périphérie sans déployer votre propre moteur de géométrie.
Cas d'intégration
Correction automatique d'examens et LMS
Notez les items de longueur de tangente avec un oracle déterministe qui rejette les points intérieurs (d < r) et les points sur le cercle (d = r) avec invalid_input.
Questions techniques
Combien coûte le calculateur de longueur de tangente ?
L'outil dans le navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.