Lunghezza della tangente da punto esterno

Quando una retta che parte da un punto esterno a un cerchio sfiora la circonferenza, il segmento tra quel punto e il punto di contatto è un segmento di tangente. La sua lunghezza dipende solo dal raggio del cerchio e dalla distanza del punto dal centro: L è la radice quadrata di d al quadrato meno r al quadrato. Gli studenti incontrano questa identità nella geometria euclidea, nella geometria analitica e negli esami che chiedono la lunghezza della tangente tracciata da un punto esterno dato. Questo calcolatore accetta il raggio r e la distanza d dal centro al punto, restituisce la lunghezza della tangente con una breve formula e rifiuta i punti interni dove non esiste una tangente reale.

Cosa significa la formula della lunghezza della tangente

Si consideri un cerchio di centro O e raggio r, e un punto P esterno tale che la distanza OP sia d con d strettamente maggiore di r. Da P si possono tracciare due tangenti congruenti che toccano il cerchio in T e T primo. Si concentri su un punto di contatto T.

Il raggio OT è perpendicolare alla retta tangente in T, quindi il triangolo OTP è rettangolo in T. Pitagora dà allora OT al quadrato più PT al quadrato uguale a OP al quadrato, cioè r al quadrato più L al quadrato uguale a d al quadrato. Isolando il segmento di tangente si ottiene L uguale alla radice quadrata di d al quadrato meno r al quadrato.

Quel solo radicale è l'intero calcolo: niente ricerca iterativa di radici, niente tavole di angoli e nessuna dipendenza dalla posizione angolare di P attorno al cerchio — conta solo la distanza radiale. Quando d è minore di r il punto è dentro il disco; la quantità sotto la radice diventa negativa e non esiste tangente reale da P al cerchio, quindi il gestore fallisce con un messaggio chiaro invece di restituire NaN o una lunghezza complessa. Il raggio deve essere positivo affinché il cerchio non sia degenere.

Insieme, questi controlli rispecchiano le ipotesi geometriche del teorema e tengono il codice client libero da risultati immaginari silenziosi.

Contratto di input, forma della risposta ed errori

Se radius non è strettamente positivo, la richiesta viene rifiutata. Se distance non è strettamente positiva, la richiesta viene rifiutata. Se distance è minore di radius, il punto è dentro il cerchio e l'attività fallisce con un messaggio che il punto è interno e la lunghezza della tangente non è definita.

Se distance è uguale a radius, il punto è sul cerchio e l'attività fallisce perché è richiesto un punto esterno. Nessuno di questi fallimenti di validazione consuma saldo prepagato. I valori classici da manuale funzionano come previsto: raggio tre e distanza cinque danno lunghezza di tangente quattro, perché tre-quattro-cinque è una terna pitagorica con raggio e tangente come cateti e l'ipotenusa il segmento centro-punto.

Chi usa la lunghezza della tangente

Aule e piattaforme di tutoraggio usano un calcolatore di lunghezza della tangente così che gli apprendisti possano verificare L uguale alla radice di d al quadrato meno r al quadrato per r e d positivi arbitrari senza errori aritmetici. I generatori di esami e i correttori automatici LMS necessitano di un oracolo deterministico che segni i punti interni come non validi invece di inventare una lunghezza.

Gli strumenti di disegno e CAD a volte necessitano della lunghezza libera di una tangente da un punto esterno noto quando sono disponibili solo la distanza dal centro e il raggio prima del posizionamento delle coordinate. Una validazione fallita non consuma saldo.