Tangentenlänge vom äußeren Punkt
Berechnen Sie, wie lang die Tangente von einem Punkt außerhalb eines Kreises bis zum Berührpunkt ist: Radius 3 und Abstand 5 zum Mittelpunkt ergeben eine Tangente der Länge 4. Punkte im Kreis oder auf dem Kreis werden abgelehnt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Radius
- 3
- Entfernung
- 5
- Tangentenlänge
- 4
- Tangentenlänge zum Quadrat
- 16
Wenn eine Gerade von einem Punkt außerhalb eines Kreises die Kreislinie gerade berührt, ist die Strecke von diesem äußeren Punkt bis zum Berührpunkt ein Tangentenabschnitt. Seine Länge hängt nur vom Kreisradius und vom Abstand des Punktes zum Mittelpunkt ab: L ist die Quadratwurzel aus d zum Quadrat minus r zum Quadrat. Lernende begegnen dieser Identität in der euklidischen Geometrie, in der analytischen Geometrie und in Prüfungsaufgaben, die die Länge einer vom gegebenen äußeren Punkt gezogenen Tangente verlangen. Dieser Rechner nimmt den Radius r und den Abstand d vom Mittelpunkt zum Punkt entgegen, liefert die Tangentenlänge mit einer kurzen Formelzeichenkette und lehnt innere Punkte ab, an denen keine reelle Tangente existiert.
Was die Formel für die Tangentenlänge bedeutet
Betrachten Sie einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r sowie einen äußeren Punkt P, sodass der Abstand OP gleich d ist und d strikt größer als r. Von P aus lassen sich zwei kongruente Tangenten zeichnen, die den Kreis in T und T Strich berühren. Konzentrieren Sie sich auf einen Berührpunkt T.
Der Radius OT steht senkrecht auf der Tangentenlinie in T, daher ist das Dreieck OTP in T rechtwinklig. Pythagoras liefert dann OT zum Quadrat plus PT zum Quadrat gleich OP zum Quadrat, also r zum Quadrat plus L zum Quadrat gleich d zum Quadrat. Löst man nach dem Tangentenabschnitt auf, erhält man L gleich der Quadratwurzel aus d zum Quadrat minus r zum Quadrat.
Dieser eine Radikal ist die gesamte Rechnung: keine iterative Wurzelbestimmung, keine Winkeltabellen und keine Abhängigkeit davon, wo P winkelmäßig um den Kreis liegt — es zählt nur der radiale Abstand. Der Radius muss positiv sein, damit der Kreis nicht entartet. Gemeinsam spiegeln diese Prüfungen die geometrischen Hypothesen des Satzes wider und halten Client-Code frei von stillen imaginären Ergebnissen.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Ist radius nicht strikt positiv, wird die Anfrage abgelehnt. Ist distance nicht strikt positiv, wird die Anfrage abgelehnt. Ist distance kleiner als radius, liegt der Punkt im Inneren des Kreises und die Aufgabe scheitert mit der Meldung, dass der Punkt innen liegt und die Tangentenlänge nicht definiert ist.
Ist distance gleich radius, liegt der Punkt auf dem Kreis und die Aufgabe scheitert, weil ein äußerer Punkt verlangt wird. Keiner dieser Validierungsfehler verbraucht vorausbezahltes Guthaben. Klassische Lehrbuchwerte funktionieren wie erwartet: Radius drei und Abstand fünf ergeben Tangentenlänge vier, weil drei-vier-fünf ein pythagoreisches Tripel ist mit Radius und Tangente als Katheten und dem Mittelpunkt-Punkt-Segment als Hypotenuse.
Kombinieren Sie das numerische Ergebnis mit Ihrer eigenen Skizze, wenn Sie eine Zeichnung von O, P und T brauchen; dieser Endpunkt berechnet nur die Länge und liefert keine Koordinaten der Berührpunkte.
Wer die Tangentenlänge braucht
Klassenräume und Nachhilfeplattformen nutzen einen Tangentenlängen-Rechner, damit Lernende L gleich Wurzel aus d zum Quadrat minus r zum Quadrat für beliebige positive r und d ohne Rechenfehler prüfen können. Prüfungsgeneratoren und LMS-Autobewertungen brauchen ein deterministisches Orakel, das innere Punkte als ungültig markiert statt eine Länge zu erfinden. Zeichen- und CAD-Hilfen benötigen manchmal die freie Länge einer Tangente von einem bekannten äußeren Punkt, wenn nur Mittelpunktsabstand und Radius verfügbar sind, bevor Koordinaten vollständig gesetzt sind.
Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Anwendungsfälle
Kontrollen in Klasse und Hausaufgaben
Lassen Sie Lernende Radius r und Mittelpunktsabstand d einreichen und L = √(d²−r²) gegen pythagoreische Lehrbuchprüfungen für äußere Punkte verifizieren.
CAD- und Geometrie-Notizbücher
Berechnen Sie die freie Tangentenabschnittslänge aus Mittelpunktsabstand und Radius in Skripten, ohne eine vollständige Bibliothek für Computational Geometry zu importieren.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Tangentenlänge von einem äußeren Punkt?
Senden Sie positive endliche Zahlen radius (r) und distance (d) mit d > r.
Was passiert, wenn der Punkt im Inneren des Kreises liegt?
Von einem inneren Punkt existiert keine reelle Tangente, und der Fehler wird nicht berechnet.
Was, wenn der Punkt auf dem Kreis liegt (d = r)?
Die Anfrage wird abgelehnt. Ein äußerer Punkt verlangt d strikt größer als r; Punkte auf dem Kreis gelten nicht als positiver äußerer Tangentenabschnitt.
Hängt die Antwort vom Winkel des Punktes um den Kreis ab?
Nein. Es zählen nur der radiale Abstand d und der Radius r. Alle Punkte auf demselben konzentrischen Kreis mit Radius d teilen dieselbe Tangentenlänge.
Wie viele Tangenten gehen von einem äußeren Punkt aus, und sind sie gleich lang?
Es sind zwei, je eine auf jeder Seite des Kreises, und beide sind genau gleich lang. Das Ergebnis ist diese gemeinsame Länge, Sie müssen sie also nur einmal berechnen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":3,"distance":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 3,
"distance": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 3,
"distance": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":3,"distance":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":3,"distance":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"radius": 3,
"distance": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.tangent_length_point",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Was die Formel für die Tangentenlänge bedeutet
Wenn d gleich r ist, liegt der Punkt auf dem Umfang und der formale Radikal verschwindet, aber es gibt keinen echten äußeren Tangentenabschnitt im üblichen schulischen Sinn; diese Fähigkeit verlangt daher d größer als r und liefert invalid_input für Punkte auf dem Kreis.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Senden Sie einen JSON-Body mit zwei erforderlichen endlichen Zahlen: radius, dem positiven Kreisradius r, und distance, dem positiven Abstand d vom Mittelpunkt zum äußeren Punkt. Jedes Feld kann als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette ankommen; fehlende Felder, leere Zeichenketten und nicht endliche Werte scheitern mit invalid_input und benennen das Feld. Bei Erfolg spiegelt der Body radius und distance wider, liefert tangent_length auf zwölf Dezimalstellen gerundet für stabile Goldens über Laufzeiten hinweg, liefert tangent_length_squared als exaktes Zwischenprodukt d zum Quadrat minus r zum Quadrat (ebenfalls gerundet für Anzeigestabilität) und enthält formula als die Zeichenkette L gleich Wurzel aus d zum Quadrat minus r zum Quadrat.
Wo eine API für Tangentenlänge ihren Nutzen zeigt
Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundete tangent_length in Tests und erhalten Sie reproduzierbare Längen für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eine eigene Geometrie-Engine aufzubauen.
Integrationsbeispiele
Prüfungs- und LMS-Autobewertung
Bewerten Sie Tangentenlängen-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das innere Punkte (d < r) und Punkte auf dem Kreis (d = r) mit invalid_input ablehnt.
Technische Fragen
Was kostet der Tangentenlängen-Rechner?
Das Browser-Tool ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.