Comprimento da tangente de ponto externo
Calcule quanto mede a tangente de um ponto fora de um círculo até onde ela encosta: raio 3 e distância 5 até o centro dão uma tangente de 4. Pontos dentro do círculo ou sobre ele são recusados. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Raio
- 3
- Distância
- 5
- Comprimento da tangente
- 4
- Comprimento da tangente ao quadrado
- 16
Quando uma reta que parte de um ponto fora de um círculo apenas toca a circunferência, o segmento entre esse ponto e o de contato é um segmento de tangente. Seu comprimento depende apenas do raio do círculo e da distância do ponto ao centro: L é a raiz quadrada de d ao quadrado menos r ao quadrado. Estudantes encontram essa identidade na geometria euclidiana, na geometria analítica e em provas que pedem o comprimento da tangente traçada a partir de um ponto externo dado. Esta calculadora aceita o raio r e a distância d do centro ao ponto, devolve o comprimento da tangente com uma fórmula breve e rejeita pontos interiores onde não existe tangente real.
O que significa a fórmula do comprimento da tangente
Considere um círculo com centro O e raio r, e um ponto P exterior de modo que a distância OP seja d com d estritamente maior que r. A partir de P é possível traçar duas tangentes congruentes que tocam o círculo em T e T linha. Concentre-se em um ponto de contato T.
O raio OT é perpendicular à reta tangente em T, de modo que o triângulo OTP é retângulo em T. Pitágoras então dá OT ao quadrado mais PT ao quadrado igual a OP ao quadrado, ou seja r ao quadrado mais L ao quadrado igual a d ao quadrado. Isolando o segmento de tangente obtém-se L igual à raiz quadrada de d ao quadrado menos r ao quadrado.
Esse único radical é todo o cálculo: sem busca iterativa de raízes, sem tabelas de ângulos e sem dependência da posição angular de P em torno do círculo — só importa a distância radial. Quando d é menor que r o ponto está dentro do disco; a quantidade sob a raiz fica negativa e não existe tangente real de P ao círculo, de modo que o manipulador falha com mensagem clara em vez de devolver NaN ou um comprimento complexo. O raio deve ser positivo para o círculo não degenerar.
Juntas, essas verificações espelham as hipóteses geométricas do teorema e mantêm o código cliente livre de resultados imaginários silenciosos.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Se radius não for estritamente positivo, a solicitação é rejeitada. Se distance não for estritamente positiva, a solicitação é rejeitada. Se distance for menor que radius, o ponto está dentro do círculo e a tarefa falha com mensagem de que o ponto é interior e o comprimento da tangente não está definido.
Se distance for igual a radius, o ponto está sobre o círculo e a tarefa falha porque se exige um ponto externo. Nenhuma dessas falhas de validação consome saldo pré-pago. Valores clássicos de livro funcionam como esperado: raio três e distância cinco produzem comprimento de tangente quatro, porque três-quatro-cinco é um terno pitagórico com raio e tangente como catetos e a hipotenusa o segmento centro-ponto.
Quem usa o comprimento da tangente
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de comprimento de tangente para que aprendizes verifiquem L igual à raiz de d ao quadrado menos r ao quadrado para r e d positivos arbitrários sem erros aritméticos. Geradores de prova e autoavaliadores LMS precisam de um oráculo determinístico que marque pontos interiores como inválidos em vez de inventar um comprimento.
Auxiliares de desenho e CAD às vezes precisam do comprimento livre de uma tangente a partir de um ponto exterior conhecido quando só há distância ao centro e raio antes de posicionar coordenadas. Validação falha não consome saldo.
Casos de uso
Verificações em sala e deveres
Permita que alunos enviem o raio r e a distância d ao centro e verifiquem L = √(d²−r²) frente às checagens pitagóricas do livro para pontos externos.
Cadernos CAD e de geometria
Calcule o comprimento livre do segmento de tangente a partir da distância ao centro e do raio em scripts sem importar uma biblioteca completa de geometria computacional.
Perguntas frequentes
Como calcular o comprimento da tangente a partir de um ponto externo?
Envie números finitos positivos radius (r) e distance (d) com d > r.
O que acontece se o ponto estiver dentro do círculo?
Não existe tangente real a partir de um ponto interior, e a falha não é cobrada.
E se o ponto estiver sobre o círculo (d = r)?
A solicitação é rejeitada. Um ponto externo exige d estritamente maior que r; pontos sobre o círculo não são tratados como segmento de tangente exterior positivo.
A resposta depende do ângulo do ponto em torno do círculo?
Não. Só importam a distância radial d e o raio r. Todos os pontos no mesmo círculo concêntrico de raio d compartilham o mesmo comprimento de tangente.
Quantas tangentes saem de um ponto externo e elas têm o mesmo comprimento?
Saem duas, uma de cada lado do círculo, e as duas têm exatamente o mesmo comprimento. O resultado é esse comprimento comum, então basta calcular uma vez.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":3,"distance":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 3,
"distance": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 3,
"distance": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":3,"distance":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":3,"distance":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/tangent-length-point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"radius": 3,
"distance": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.tangent_length_point",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que significa a fórmula do comprimento da tangente
Quando d é igual a r o ponto está na circunferência e o radical formal colapsa a zero, mas não há segmento de tangente exterior no sentido escolar usual, por isso esta capacidade exige d maior que r e devolve invalid_input para pontos sobre o círculo.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Envie um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: radius, o raio positivo r do círculo, e distance, a distância positiva d do centro ao ponto externo. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Em sucesso o corpo ecoa radius e distance, devolve tangent_length arredondado a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes, devolve tangent_length_squared como o intermediário exato d ao quadrado menos r ao quadrado (também arredondado para estabilidade de exibição) e inclui formula como a string L igual à raiz de d ao quadrado menos r ao quadrado. Combine o resultado numérico com o seu próprio diagrama se precisar de um esboço de O, P e T; este endpoint calcula apenas o comprimento e não emite coordenadas dos pontos de contato.
Onde uma API de comprimento de tangente agrega valor
Como a implementação é parse de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha requisições pequenas, fixe o tangent_length arredondado nos testes e obtenha comprimentos reproduzíveis para deveres, plugins LMS e workers de borda sem montar um motor de geometria próprio.
Casos de integração
Autocorreção de provas e LMS
Corrija itens de comprimento de tangente com um oráculo determinístico que rejeite pontos interiores (d < r) e pontos sobre o círculo (d = r) com invalid_input.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de comprimento da tangente?
A ferramenta no navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.