Tangente a um círculo
Um círculo de raio 3 visto de um ponto a 5 do centro tem uma tangente de comprimento 4. Digite o raio e essa distância e receba o segmento tangente, calculado como √(d² − r²). Se o ponto estiver dentro do círculo, você é avisado. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Raio
- 3
- Distância
- 5
- Comprimento da tangente
- 4
- Comprimento da tangente ao quadrado
- 16
Uma tangente a um círculo é uma reta que encontra a circunferência em exatamente um ponto. Quando essa reta parte de um ponto situado fora do círculo, o número útil não é a reta infinita, e sim o segmento finito que vai do ponto externo até o ponto de contato. Esse comprimento fica determinado por duas medidas que já aparecem na maioria dos problemas de livro e de CAD: o raio do círculo e a distância do centro ao ponto dado. Esta calculadora de tangente a um círculo aplica a identidade do triângulo retângulo que segue do raio ser perpendicular à tangente no ponto de contato. O comprimento da tangente é a raiz quadrada da distância ao centro ao quadrado menos o raio ao quadrado. Pontos interiores são recusados porque não existe tangente real quando a distância é menor que o raio.
Como uma tangente a um círculo produz a fórmula do comprimento
Imagine um círculo de centro O e raio positivo r. Escolha um ponto P cuja distância a O seja d. Se d for estritamente maior que r, P fica fora do disco e você pode traçar a partir de P duas retas tangentes congruentes que tocam o círculo cada uma em um único ponto.
Chame T um desses pontos de contato. O raio OT é perpendicular à reta tangente em T, um fato euclidiano que torna o triângulo OTP retângulo com o ângulo reto em T. Pitágoras então afirma que OT ao quadrado mais PT ao quadrado é igual a OP ao quadrado, ou seja r ao quadrado mais L ao quadrado igual a d ao quadrado.
Isolando o cateto desconhecido, L é a raiz quadrada de d ao quadrado menos r ao quadrado. Esse único radical é todo o cálculo: sem busca iterativa de raízes, sem tabelas trigonométricas e sem dependência da posição angular de P em torno do círculo. Todo ponto que compartilha a mesma distância radial d tem o mesmo comprimento de tangente.
Quando d é igual a r o ponto está sobre a circunferência e o radical formal se anula, o que esta calculadora informa como uma tangente de comprimento zero em vez de inventar uma geometria de contato. Quando d é menor que r o ponto está estritamente dentro do disco, a quantidade sob a raiz seria negativa e não existe tangente real de P ao círculo. O raio deve ser positivo para que o círculo não seja degenerado.
Juntas, essas checagens coincidem com as hipóteses geométricas do teorema da tangente e evitam resultados imaginários silenciosos no código do cliente.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
Se radius não for estritamente positivo, a solicitação é recusada. Se distance for negativa, a solicitação é recusada. Se distance for menor que radius, o ponto fica dentro do círculo e a tarefa falha com uma mensagem de que a distância é menor que o raio e de que o comprimento da tangente não está definido para um ponto interior.
Nenhuma dessas falhas de validação consome saldo pré-pago. Os valores clássicos de livro funcionam como se espera: raio três e distância cinco dão comprimento de tangente quatro, porque três-quatro-cinco é um terno pitagórico com o raio e a tangente como catetos e o segmento centro-ponto como hipotenusa. Um caso não inteiro como raio dois e distância cinco produz a raiz quadrada de vinte e um.
Onde uma calculadora de tangente a um círculo se paga
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de tangente a um círculo para que os aprendizes confiram que L é a raiz de d ao quadrado menos r ao quadrado para r positivo e d admissível, sem escorregões aritméticos no radical. Geradores de prova e corretores automáticos LMS precisam de um oráculo determinístico que marque pontos interiores como inválidos em vez de inventar um comprimento que um avaliador defeituoso poderia tratar como resposta numérica correta.
Cadernos de desenho e auxiliares CAD leves às vezes precisam do comprimento livre de uma tangente a partir de um ponto externo conhecido quando só há distância ao centro e raio, antes de posicionar as coordenadas de contato. Croquis de topografia e robótica que modelam obstáculos circulares usam a mesma identidade para decidir quão longo é um percurso de rasante a partir de um afastamento conhecido. Validação falha não consome saldo.
Casos de uso
Conferências em sala e na lição de casa
Peça que os estudantes enviem o raio r e a distância d ao centro e verifiquem L = √(d²−r²) contra as checagens pitagóricas do livro para pontos sobre o círculo ou do lado de fora.
Esboços de desenho e obstáculos
Calcule o segmento de tangente rasante a partir de um afastamento conhecido até um obstáculo circular quando só o raio e a distância ao centro estão disponíveis.
Perguntas frequentes
Como se calcula o comprimento de uma tangente a um círculo?
Envie um raio r finito e positivo e uma distância d finita e não negativa com d ≥ r.
O que acontece se o ponto estiver dentro do círculo?
Não existe tangente real a partir de um ponto interior, e a falha não é cobrada.
E se o ponto estiver sobre o círculo (d = r)?
Um ponto interior ainda exige d < r para ser recusado.
A resposta depende do ângulo do ponto em torno do círculo?
Não. Só importam a distância radial d e o raio r. Todos os pontos da mesma circunferência concêntrica de raio d compartilham o mesmo comprimento de tangente.
Quantas tangentes dá para traçar de um ponto fora do círculo?
Duas, e as duas têm exatamente o mesmo comprimento, então um único número vale para ambas. A calculadora dá esse comprimento; ela não calcula onde as retas tocam o círculo nem para onde apontam.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/tangent-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":3,"distance":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/tangent-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 3,
"distance": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/tangent-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 3,
"distance": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/tangent-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":3,"distance":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":3,"distance":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/tangent-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"radius": 3,
"distance": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.tangent_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como uma tangente a um círculo produz a fórmula do comprimento
O tratador portanto falha com invalid_input em vez de devolver NaN ou um número complexo.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
Envie um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: radius, o raio positivo r do círculo, e distance, a distância não negativa d do centro ao ponto dado. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Em caso de sucesso o corpo ecoa radius e distance, devolve tangent_length arredondado a doze casas decimais para que os exemplos de referência coincidam byte a byte entre runtimes, devolve tangent_length_squared como o intermediário d ao quadrado menos r ao quadrado, e inclui formula como a string L igual à raiz quadrada de d ao quadrado menos r ao quadrado. Combine o resultado numérico com o seu próprio diagrama se precisar de um esboço de O, P e T; este endpoint calcula só o comprimento e não emite coordenadas dos pontos de contato nem as duas direções possíveis da tangente.
Onde uma calculadora de tangente a um círculo se paga
Como a implementação é parse de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha as solicitações pequenas, fixe o tangent_length arredondado nos testes e você obtém comprimentos reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers de borda sem montar um motor de geometria computacional próprio.
Casos de integração
Provas e correção automática em LMS
Avalie itens de tangente a um círculo com um oráculo determinístico que recusa pontos interiores (d < r) como invalid_input em vez de um comprimento inventado.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de tangente a um círculo?
A ferramenta no navegador é grátis. Pedidos API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.