三日月の面積
一方の円がもう一方の円の外に残す三日月形の面積を求めます。半径5の円2つを中心間の距離5で重ねると、それぞれの側に47.830573874526の三日月が残ります。重なったレンズ形の面積も表示されるので、取り違えることがありません。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 半径 a
- 5
- 半径 b
- 5
- 距離
- 5
- 面積
- 47.8305738745
- 月形 b
- 47.8305738745
- 交差部分の面積
- 30.7092424652
ルーヌ、いわゆる三日月は、二点で交わる二つの円弧に囲まれた月形の領域です。二つの円が交差したとき、一方の円板に属し他方には属さない部分です。この計算機は二つの半径と中心間距離を受け取り、円が相異なる二点で交わることを確かめ、第一の円の三日月面積、すなわち第一の円板から重なりのレンズを引いた値を返します。学習者、CAD利用者、二つの円のあいだの残りを塗る方は、数値積分ではなく閉じた公式の値を得られます。
三日月（ルーヌ）とは何か、なぜ二つの半径と中心間距離で決まるのか
平面幾何では、ルーヌは二つの円弧に囲まれた凹凸の領域です。二点で交わる二つの円を描きます。各円周はそれらの点のあいだに二つの弧を持ち、一方の円板の内側かつ他方の外側に領域が来るように各円から一本の弧を選ぶと三日月ができます。
その三日月は、第一の円板から二つの円板の共通部分を引いたものにほかなりません。共通部分そのものは対称なレンズで、半径が等しいときは魚の浮袋形とも呼ばれます。共通弦を共有する二つの円分の和です。
そのレンズを円周率に第一半径の二乗を掛けた値から引くと、第一の円のルーヌが残ります。第二の半径で同じ構成をすると他方のルーヌが得られます。二つの半径と中心間距離が分かれば、これら三つの長さが各中心から二つの交点へ向かう三角形を決めるため、両方の量は一意に定まります。
余弦定理が中心での半角を与え、それらの逆余弦と、同じ三角形に対するヘロンの公式からの平方根一つで、レンズ面積が閉じた形で得られます。三日月の面積、ルーヌの面積、二つの円のあいだの三日月面積と検索する方は、図形が存在すると述べるだけの講義ではなく、その数値の残りを求めます。
繰り返した半径と距離、第一円の三日月面積、第二のルーヌ、交差レンズ、短い公式文字列を返すことで、ノートへ貼り付け、自動試験に固定し、教える言語や配備先ごとに逆余弦と被開平数を再実装せずにパイプラインへ渡せます。恒等式は決定的で定数時間なので、同じ三つの数は常に同じ三日月を生みます。
入力契約、公式、応答に含まれるもの
短い別名も同じ処理系に届きます。各半径は厳密に正の有限数でなければなりません。ゼロや負の長さは、描ける円ではないため名前で拒否されます。
距離も同様に厳密に正でなければなりません。幾何が妥当なのは、円が相異なる二点で交わるとき、すなわち半径の絶対差から和までの開区間だけです。距離が和以上なら円は離れているか外接するだけで三日月はありません。
距離が絶対差以下なら、一方の円板が他方を円周が交わらずに含む、つまり輪でありルーヌではないか、同心です。これらの場合は幾何が無効であるというメッセージで失敗します。図が必要ならご自身のスケッチを添えてください。
この端点は面積だけを計算します。
三日月面積計算機が役立つ場面
教室や学習支援の場では、任意の半径の対と中心間距離について、レンズとルーヌを手計算で取り違えずに月形の残りを確かめられます。試験生成器は、正でない半径を黙ってゼロ返すのではなく無効と印し、離れた円や入れ子の円に重なりを捏造せず拒否する決定的な神託を必要とします。
中心と半径が分かっている二つの円切断を記録した現場・CAD・土木のメモは、材料拾い、月形ガスケット、CNC の残りとして安定した三日月面積を取り戻します。検証失敗は残高を消費しません。要求を小さく保ち、丸めた面積を試験に固定すれば、宿題、LMS プラグイン、エッジワーカー向けに再現可能な三日月が得られ、数式処理系を立てる必要はありません。
この頁はヒポクラテスの三日月、直角三角形の特別な相等ではなく、半径と中心角からの円分計算機でもありません。
活用例
宿題・試験向けの三日月面積ドリル
学習者と採点者は、二つの半径と中心間距離の典型データで月形の残りを確認し、半径が正でない場合や円が交わらない場合の拒否も含めて確かめます。
幾何テスト用の決定的フィクスチャ
単体試験や対話的なルーヌ演示に種をまくパイプラインは、逆余弦と交差の被開平数を言語ごとに再実装せず、純な三日月面積の神託を呼べます。
よくある質問
三日月面積計算機はどの公式を使いますか？
α と β は余弦定理の半角、2Δ は共通弦上の三角形面積の二倍です。
半径が正の数でない場合はどうなりますか？
ゼロ、負の長さ、欠けた欄、有限でない値は描ける円ではなく、それらの呼び出しは課金されません。
幾何が無効なのはいつですか？
円が相異なる二点で交わらないときです。距離が半径の和以上（離れているか外接）、距離が絶対差以下（交わらず入れ子、または同心）、あるいは正でない距離です。
三日月形とレンズ形の違いは何ですか？
レンズ形は2つの円が共有する重なり部分です。三日月形は、1つ目の円からそのレンズ形を取り除いた残りです。半径5、中心間の距離5なら、レンズ形は30.709242465219です。
2つ目の円の三日月形の面積も分かりますか？
はい、1つ目の結果やレンズ形と並べて表示されます。主な結果は常に先に入力した円のものなので、2つの半径を入れ替えると、最初に表示される三日月形も入れ替わります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/crescent-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius_a":5,"radius_b":5,"distance":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/crescent-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius_a": 5,
"radius_b": 5,
"distance": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/crescent-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius_a": 5,
"radius_b": 5,
"distance": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/crescent-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius_a":5,"radius_b":5,"distance":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius_a":5,"radius_b":5,"distance":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/crescent-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"radius_a": 5,
"radius_b": 5,
"distance": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.crescent_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
欠けている・有限でない・正でない半径は invalid_input で失敗し、円が離れている・交わらず入れ子・同心である中心距離も同様です。同じ純関数が無料のブラウザツールと、成功一件あたり $0.002 の前払い API 経路を動かします。
入力契約、公式、応答に含まれるもの
必須の三つの数を含む JSON 本体を送ってください。radius_a は第一円の正の半径、radius_b は第二円の正の半径、distance は二つの中心のあいだの正の距離です。欠けた欄、空文字、数値でない文、NaN、Infinity は欄名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。妥当な三つ組では半角は余弦定理に従い、レンズ面積は radius_a の二乗に alpha を掛け、radius_b の二乗に beta を掛けて加え、三角形面積の二倍を引いたものであり、第一円の三日月面積は円周率に radius_a の二乗を掛けた値からそのレンズを引いたものです。成功本体は三つの入力を繰り返し、area を主たる三日月として返し、他方の残りとレンズのために lune_b と intersection_area を含め、公式を述べます。
三日月面積計算機が役立つ場面
実装は純 parse の段階 A なので、成功した呼び出しは毎回公開の基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向き通信もありません。三日月面積と打つ方は、二つの半径と中心間距離から二つの円弧のあいだの残りを、信頼できる構造化 JSON として求めます。
連携の活用例
CAD・ガスケット・円切断の残り
交わる二つの円切断を記録した現場や工場のメモは、報告・拾い出し・軽量 CAD 補助向けに、三日月を構造化 JSON として取り戻します。
技術的な質問
二つの半径と中心間距離から三日月面積を求めるには？
radius_a と radius_b（いずれも正の有限数）と distance（正で、|radius_a − radius_b| と radius_a + radius_b のあいだに厳密に入る）を含む JSON 本体を送ってください。応答は第一円のルーヌとして area を返し、加えて lune_b、intersection_area、繰り返した入力、公式文字列を返します。
三日月面積計算機は無料ですか？
ブラウザツールはお使いの機器上で無料です。API 呼び出しは成功一件あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、検証失敗は課金されません。