固有値・固有ベクトル計算機

固有値・固有ベクトル計算機は、行ごとに入力した正方行列（最大50×50）を受け取り、実数の固有ペアの完全な集合を返します。各固有値に対応する固有ベクトルが単位長に正規化され、固有値の大きい順に並びます。固有ペアは線形変換の指紋のようなものです。どの方向を変えずに保ち、それぞれをどれだけ伸ばすかを示し、振動解析や安定性チェックからPageRank、マルコフ連鎖、主成分分析に至るまで、あらゆる分野の基盤となっています。特性多項式を手で展開したり数値ライブラリを導入したりする代わりに、要素を送信すれば、1回の決定的な呼び出しで、選択した精度に丸められた固有ペアが返されます。同じモジュールがこのページのブラウザ上で無料で動作しますので、ワークフローを自動化する場合にのみお支払いいただきます。

固有ペアが示すこと

正方行列Aの固有ベクトルとは、Aが単にスカラー倍するだけの非零ベクトルのことです。つまり、あるスカラーλ（固有値）について A·v = λ·v が成り立ちます。幾何学的には、固有ベクトルは変換が回転もせん断もしない軸に沿った方向を指し、その軸方向にλ倍だけ伸縮するだけです。

このペア(λ, v)を固有ペアと呼び、固有値・固有ベクトル計算機が返すのはまさにこれです。固有値ごとに1件のレコードがあり、固有値そのものと対応する単位固有ベクトルが含まれるため、対応関係を誤読することはありません。ペアは固有値の大きい順に並ぶため、系の支配的な方向——反復プロセスの長期的な挙動を支配する方向——が先頭に来ます。

負の固有値は方向の反転を表し、ゼロの固有値は非自明な零空間と非可逆行列を示し、重複する固有値は問題の対称性を示唆します。また、行列が複素固有値を持つ場合は、実数の数値を捏造するのではなく、その旨を明示します。

計算の仕組み

アルゴリズムは完全に決定的です。ランダムな初期ベクトルや実行ごとに変わる反復回数はないため、同じ行列からは常にバイト単位で同一の固有ペアが返されます。共分散分析、構造力学、最適化に頻繁に現れる対称行列は、巡回ヤコビスイープで処理されます。

これは固定された順序の平面回転によって非対角要素をゼロにしながら、回転を固有ベクトル行列に累積していく手法です。ヤコビ法は理論上最速ではありませんが、このツールが扱う中小規模のサイズでは非常に正確で、単純なべき乗法が失敗する重複固有値の場合も安定して処理します。

一般の非対称行列は、ウィルキンソンシフト付きQR反復で固有値を抽出し、続いて元の行列に対する逆反復で固有値ごとの固有ベクトルを復元します。応答を返す前に、復元された固有ベクトルが線形独立であることを検証します。線形独立でない場合——典型的な欠損行列[[1,1],[0,1]]のように——もっともらしい誤答を返すのではなく、明確なエラーで失敗します。

各固有値と固有ベクトルの各成分は、ご指定の小数精度（0〜15桁、デフォルト10桁）に丸められます。

固有ペアの利用場面

固有ペアは、線形系が発展したり振動したりするあらゆる場面に現れます。工学では、構造物の固有振動数は剛性・質量系の固有値の平方根であり、固有ベクトルはモード形状——各振動数で構造物がどのように動くか——です。データサイエンスでは、主成分分析は共分散行列の固有分解にほかならず、固有ベクトルが主方向、固有値が各方向が捉える分散の大きさを表します。

ウェブ検索も固有ペアのおかげで成り立っています。PageRankはウェブのリンク行列の支配的固有ベクトルです。マルコフ連鎖の解析も同様で、支配的固有値は連鎖が収束するかどうかを示し、その固有ベクトルが定常状態です。

この機能はグローバルエッジ上で応答後に何も保存せずに実行されるため、自動化パイプラインにもすっきり組み込めます。