حاسبة القيم والمتجهات الذاتية
للمصفوفة ذات الصفين (2، 1) و(1، 2) قيمتان ذاتيتان هما 3 و1، ولكل منهما متجه ذاتي بطول واحد. أدخل أي مصفوفة مربعة حتى 50×50 لتحصل على كل أزواجها الذاتية الحقيقية من الأكبر إلى الأصغر. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تأخذ حاسبة القيم والمتجهات الذاتية مصفوفة مربعة — حتى 50×50، تُدخل صفًا صفًا — وتعيد مجموعتها الكاملة من الأزواج الذاتية الحقيقية: كل قيمة ذاتية مع المتجه الذاتي المقابل لها، مُطبَّعة إلى طول الوحدة ومرتبة من أكبر قيمة ذاتية إلى أصغرها. الأزواج الذاتية هي بصمة التحويل الخطي: تُظهر أي الاتجاهات يُبقيها دون تغيير وبأي مقدار يمدد كلًا منها، وهي أساس كل شيء من تحليل الاهتزازات وفحوصات الاستقرار إلى PageRank وسلاسل ماركوف وتحليل المكونات الرئيسية. فبدلًا من فك كثير الحدود المميز يدويًا أو تثبيت مكتبة عددية، ترسل العناصر وتستلم الأزواج الذاتية في استدعاء واحد حتمي، مقربة إلى الدقة التي تختارها. والوحدة نفسها تعمل مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة، فلا تدفع إلا عندما تؤتمت سير العمل.
ماذا يخبرك الزوج الذاتي
المتجه الذاتي لمصفوفة مربعة A هو متجه غير صفري لا تفعل به A سوى تغيير مقياسه: A·v = λ·v لعدد ما λ هو القيمة الذاتية. وهندسيًا، يشير المتجه الذاتي على امتداد محور لا يديره التحويل ولا يقصّه — بل يمدده أو يضغطه فقط بمعامل λ. ويُسمى الزوج (λ، v) زوجًا ذاتيًا، وهذا بالضبط ما تعيده حاسبة القيم والمتجهات الذاتية: سجلًا واحدًا لكل قيمة ذاتية يحتوي القيمة نفسها ومتجهها الذاتي الوحدوي المقابل، بحيث لا يمكن إساءة فهم المقابلة أبدًا.
تُرتب الأزواج من أكبر قيمة ذاتية إلى أصغرها، ما يضع الاتجاه المهيمن للنظام في المقدمة — وهو الذي يحكم السلوك طويل الأمد في العمليات التكرارية. القيم الذاتية السالبة ترمّز انعكاس الاتجاه، والقيمة الذاتية الصفرية تكشف نواة غير بديهية ومصفوفة غير قابلة للعكس، والقيم الذاتية المتكررة تشير إلى تناظرات في المسألة. وإن لم تكن المصفوفة مربعة رُفض الطلب فورًا، لأن الأزواج الذاتية لا تُعرَّف إلا للمصفوفات المربعة؛ وإن كانت للمصفوفة قيم ذاتية مركبة صرّحت الأداة بذلك بدلًا من اختلاق أعداد حقيقية.
كيف يتم الحساب
الخوارزمية حتمية تمامًا — لا متجهات بداية عشوائية ولا أعداد تكرارات تتغير من تشغيل إلى آخر — لذلك تعيد المصفوفة نفسها دائمًا الأزواج الذاتية نفسها، بايتًا بايت. ليست طريقة جاكوبي الأسرع نظريًا، لكنها دقيقة على نحو لافت عند الأحجام الصغيرة والمتوسطة التي تقبلها هذه الأداة، وتتعامل بسلاسة مع القيم الذاتية المتكررة حيث تفشل طرق القوى الأبسط. وقبل الإجابة، تتحقق الأداة من أن المتجهات الذاتية المسترجعة مستقلة خطيًا؛ فإن لم تكن — كما في المصفوفة المعيبة الشهيرة [[1,1],[0,1]] — فشل الطلب بخطأ واضح بدلًا من إجابة خاطئة معقولة المظهر.
وتُقرَّب كل قيمة ذاتية وكل عنصر من عناصر المتجه الذاتي إلى الدقة العشرية التي تطلبها، من 0 إلى 15 خانة، والافتراضي عشر خانات.
أين تُستخدم الأزواج الذاتية
تظهر الأزواج الذاتية حيثما تطور نظام خطي أو اهتز. ففي الهندسة، الترددات الطبيعية للمنشأة هي الجذور التربيعية للقيم الذاتية لنظام الصلابة والكتلة فيها، والمتجهات الذاتية هي الأشكال الاهتزازية — أي كيف تتحرك المنشأة عند كل تردد. وفي علم البيانات، ليس تحليل المكونات الرئيسية سوى التحليل الذاتي لمصفوفة التغاير: المتجهات الذاتية هي الاتجاهات الرئيسية والقيم الذاتية تقيس مقدار التباين الذي يلتقطه كل منها.
وبحث الويب مدين بوجوده لزوج ذاتي: فـ PageRank هو المتجه الذاتي المهيمن لمصفوفة روابط الويب. وتحليل سلاسل ماركوف يعمل بالطريقة نفسها — القيمة الذاتية المهيمنة تخبرك هل تتقارب السلسلة، ومتجهها الذاتي هو الحالة المستقرة.
حالات الاستخدام
إيجاد المكونات الرئيسية
أرسل مصفوفة تغاير واقرأ الأزواج الذاتية مباشرة: المتجهات الذاتية هي الاتجاهات الرئيسية، والقيم الذاتية هي التباين المفسَّر.
تحليل الاهتزازات والاستقرار
استخرج الترددات الطبيعية والأشكال الاهتزازية لنظام ميكانيكي من مصفوفة صلابته، أو تحقق من استقرار نظام خطي من إشارة قيمه الذاتية.
مراجعة الواجبات والبحوث
تحقق من تحليل ذاتي محسوب يدويًا مقابل مرجع حتمي قبل تسليمه، بالدقة التي تتحكم بها أنت.
الأسئلة الشائعة
كم التكلفة؟
ويمكن تشغيلها مجانًا أيضًا في متصفحك على هذه الصفحة بنتائج مماثلة.
ما المصفوفات المقبولة؟
أي مصفوفة مربعة من أعداد حقيقية منتهية حتى 50×50.
ماذا لو كانت لمصفوفتي قيم ذاتية مركبة؟
تُرفض المصفوفات ذات القيم الذاتية المركبة، والمصفوفات المعيبة التي لا تملك مجموعة كاملة من المتجهات الذاتية الحقيقية المستقلة، بخطأ واضح بدلًا من إجابة تقريبية.
كيف تُرتَّب الأزواج الذاتية؟
من أكبر قيمة ذاتية إلى أصغرها. ويحمل كل زوج ذاتي متجهه الذاتي الخاص، المُطبَّع إلى طول الوحدة، فتكون المقابلة قاطعة.
كيف أتحقق من الإجابة؟
اضرب المصفوفة في كل متجه ذاتي مُعاد: يجب أن يساوي الناتج القيمة الذاتية مضروبة في ذلك المتجه (A·v = λ·v)، في حدود دقة التقريب التي اخترتها.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/eigenvalue-eigenvector \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/eigenvalue-eigenvector", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/eigenvalue-eigenvector",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/eigenvalue-eigenvector", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/eigenvalue-eigenvector", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.eigenvalue_eigenvector",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_n | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أين تُستخدم الأزواج الذاتية
ولأن القدرة تعمل على حافتنا العالمية دون تخزين شيء بعد الاستجابة، فإنها تندمج بسلاسة في خطوط المعالجة الآلية: يمكن لسكربت أن يرسل مصفوفات ضمن مهمة ليلية بتكلفة $0.002 لكل استدعاء، بينما يتحقق إنسان من المصفوفات نفسها مجانًا في المتصفح بنتائج متطابقة بايتًا بايت. وهذه المطابقة بين أداة الويب المجانية وواجهة API المدفوعة مقصودة — فالوحدة نفسها تغذي القناتين.