تقطير المصفوفة
للمصفوفة ذات الصفين (2، 1) و(1، 2) تحصل على القيمتين الذاتيتين 3 و1 والمصفوفة القطرية D ومصفوفة المتجهات الذاتية P، بحيث A = P·D·P⁻¹. وإذا تعذر تقطير المصفوفة فستعرف ذلك بوضوح. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تأخذ حاسبة تحويل المصفوفة إلى الشكل القطري مصفوفة مربعة وتعيد تحليلها الذاتي الكامل: القيم الذاتية، والمصفوفة القطرية D المبنية منها، ومصفوفة تغيير الأساس P التي تكون أعمدتها المتجهات الذاتية المقابلة، بحيث A = P·D·P⁻¹. يحوّل التقطير المسائل الصعبة إلى مسائل سهلة — فقوى المصفوفات والدوال الأسية والمعادلات التفاضلية وسلاسل ماركوف تصبح كلها عمليات تُجرى على عناصر منفردة بمجرد كتابة المصفوفة في أساسها الذاتي. وبدلًا من حل كثيرة الحدود المميزة يدويًا أو تثبيت مكتبة عددية، ترسل عناصر المصفوفة فتستعيد التحليل في استدعاء واحد حتمي، مع تقريب كل قيمة إلى الدقة التي تختارها. ويعمل الكود نفسه مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة، فيمكنك فحص أي مصفوفة بلصقها مباشرة، ولا تدفع إلا عندما تحوّل سير العمل إلى نظام آلي.
ماذا يعني تحويل مصفوفة إلى الشكل القطري
تكون المصفوفة المربعة A قابلة للتقطير عندما تمتلك عددًا كافيًا من المتجهات الذاتية المستقلة لتشكيل أساس — أي n منها لمصفوفة من الرتبة n×n. وفي تلك الحالة يمكنك كتابة A = P·D·P⁻¹، حيث D مصفوفة قطرية تحمل القيم الذاتية، وP مصفوفة تغيير الأساس التي تكون أعمدتها المتجهات الذاتية بالترتيب نفسه. يُعد هذا التحليل من النتائج المحورية في الجبر الخطي، لأن المصفوفات القطرية سهلة التعامل إلى حد بسيط: فرفع D إلى القوة الخمسين لا يتطلب سوى رفع كل عنصر قطري إلى القوة الخمسين.
تحسب حاسبة تحويل المصفوفة إلى الشكل القطري هذا التحليل مباشرة من العناصر التي تقدمها، فتعيد القيم الذاتية مرتبة من الأكبر إلى الأصغر، والمصفوفة القطرية D، والمصفوفة الكاملة P، بحيث يمكنك التحقق بنفسك من المتطابقة A·P = P·D أو تمرير الأجزاء إلى الخطوة التالية من حساباتك. وإذا لم تكن المصفوفة مربعة يُرفض الطلب، وإذا كانت لها قيم ذاتية مركبة أو لم تملك مجموعة كاملة من المتجهات الذاتية الحقيقية فإن الأداة تصرح بذلك بوضوح بدلًا من إرجاع أرقام تبدو معقولة لكنها خاطئة.
كيف يتم الحساب
الخوارزمية حتمية تمامًا — لا نقاط بداية عشوائية ولا أعداد تكرارات تتغير من تشغيل إلى آخر — لذا تنتج المصفوفة نفسها دائمًا التحليل نفسه. وطريقة جاكوبي بطيئة نظريًا مع المصفوفات الضخمة، لكنها بالغة الدقة للأحجام الصغيرة والمتوسطة التي تقبلها هذه الأداة، كما تتعامل بسلاسة مع القيم الذاتية المتكررة التي تتعثر عندها أساليب أخرى.
وقبل الإرجاع تتحقق الأداة من أن مصفوفة المتجهات الذاتية P قابلة للعكس؛ فإذا كانت الأعمدة شبه متوازية كانت المصفوفة معيبة — مثل المثال الكلاسيكي [[1,1],[0,1]] — ولا يمكن تقطيرها، فيفشل الطلب بخطأ واضح بدلًا من إجابة معطوبة بصمت. ويُقرَّب كل عنصر في المخرجات إلى الدقة العشرية التي تطلبها، من 0 إلى 15 منزلة، مع عشر منازل كقيمة افتراضية.
أين تستخدمها الفرق
يظهر التقطير في كل مكان يتطور فيه نظام خطي عبر الزمن. فالمهندسون الذين يحسبون السلوك طويل الأمد لسلسلة ماركوف يحتاجون القيم الذاتية ليعرفوا ما إذا كانت السلسلة تتقارب وبأي سرعة؛ والقيمة الذاتية المهيمنة ومتجهها الذاتي يعطيان الحالة المستقرة مباشرة. والمطورون الذين يتعاملون مع علاقات التكرار أو المعادلات الفرقية المتقارنة يحوّلون مصفوفة الانتقال إلى الشكل القطري للحصول على حل مغلق الصيغة بدلًا من التكرار.
وفي الرسوميات والهندسة، يكشف تحليل التحويل الخطي عن المحاور التي يمدّد الفضاء باتجاهها. وتستخدمه فرق البيانات لبنةً أساسية: فتحليل المكونات الرئيسية هو التحليل الذاتي لمصفوفة التغاير، وطرق الرسم البياني الطيفية تنطلق من المتجهات الذاتية لمصفوفة لابلاس.
حالات الاستخدام
احسب قوى المصفوفات بسرعة
احصل على P وD مرة واحدة، ثم احسب A^k على صورة P·D^k·P⁻¹ — فكل قيمة ذاتية تُرفع ببساطة إلى القوة k.
حلل سلسلة ماركوف
استخرج القيمة الذاتية المهيمنة ومتجهها الذاتي لإيجاد التوزيع المستقر ومعدل التقارب.
تحقق من الواجبات والأعمال الدراسية
قارن التقطير الذي أنجزته يدويًا بمرجع حتمي قبل تسليمه.
الأسئلة الشائعة
كم تبلغ التكلفة؟
كما يمكن تشغيلها مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة بنتائج مطابقة تمامًا.
ما المصفوفات المقبولة؟
أي مصفوفة مربعة من أعداد حقيقية منتهية حتى 50×50.
ماذا لو تعذر تقطير مصفوفتي؟
المصفوفات ذات القيم الذاتية المركبة، أو المصفوفات المعيبة التي لا تملك n من المتجهات الذاتية الحقيقية المستقلة، تُرفض بخطأ واضح بدلًا من إجابة تقريبية.
كيف تُرتَّب النتائج؟
تُعاد القيم الذاتية من الأكبر إلى الأصغر، وتتبع أعمدة مصفوفة تغيير الأساس P الترتيب نفسه.
هل تُخزَّن مصفوفتي في أي مكان؟
لا. تُعالَج في الذاكرة وتُهمَل؛ ولا يُعاد سوى التحليل.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/diagonalize-matrix \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/diagonalize-matrix", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/diagonalize-matrix",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/diagonalize-matrix", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/diagonalize-matrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.diagonalize_matrix",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_n | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أين تستخدمها الفرق
ولأن هذه القدرة تعمل على شبكتنا الطرفية العالمية دون تخزين أي شيء بعد الاستجابة، فهي تندمج بسلاسة في خطوط الأنابيب الآلية — يمكن لنص برمجي أن يرسل المصفوفات ضمن مهمة ليلية بسعر $0.002 لكل استدعاء، بينما يفحص إنسان المصفوفات نفسها مجانًا في المتصفح بنتائج مطابقة بايتًا بايت. وهذا التطابق بين الأداة المجانية على الويب وAPI المدفوعة مقصود: فالوحدة نفسها تدير كليهما.
أسئلة تقنية
كيف أتحقق من الإجابة؟
اضرب A·P وP·D — يجب أن يتساويا. وللمصفوفات المتماثلة تكون أعمدة P متعامدة معيارية أيضًا، لذا يساوي P⁻¹ منقول P.