حاسبة كثير الحدود المميز
احصل على كثيرة الحدود المميزة لأي مصفوفة مربعة حتى 12×12: المصفوفة ذات الصفين 2، 1 و1، 2 تعطي λ² − 4λ + 3، مع الأثر 4 والمحدِّد 3 للتحقق. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
كما تُرجع الأثر والمحدد بوصفهما فحصين مدمجين للتحقق، إضافة إلى صيغة نصية مقروءة لكثير الحدود جاهزة للصق في أي تقرير. يمكنك إرسال المصفوفة على هيئة مصفوفات متداخلة أو كصفوف نصية بسيطة، وستحصل على النتيجة الحتمية نفسها في كل مرة. أما المدخلات غير المربعة أو غير الرقمية فتُرفض برسالة خطأ واضحة بدلًا من نتائج خاطئة صامتة.
ماذا يخبرك كثير الحدود المميز فعلًا
إن كثير الحدود المميز لمصفوفة مربعة A، ويُكتب p(λ) = det(λI − A)، هو البصمة الأكثر إيجازًا التي تمتلكها أي مصفوفة. فجذوره هي بالضبط القيم الذاتية للمصفوفة A معدودة بتكراراتها، لذا فإن كل سؤال تقريبًا عن السلوك الطيفي — استقرار نظام ديناميكي، أو ترددات الرنين في بنية ما، أو النمو الطويل الأمد لمتتالية تكرارية — يبدأ بكتابة هذا الكثير الحدود. ولمعاملين منه شهرة خاصة: فمعامل λⁿ⁻¹ يساوي سالب أثر A، والحد الثابت يساوي المحدد بإشارة موجبة أو سالبة بحسب زوجية البعد أو فرديته.
ويضيف مبرهنة Cayley–Hamilton أن كل مصفوفة تحقق كثير حدودها المميز نفسه، وهذه هي الحيلة الكامنة وراء حساب القوى العالية للمصفوفات والأسس المصفوفية دون تحويلها إلى الشكل القطري. عندما تحسب p(λ) يدويًا فإنك تفكّ محددًا تظهر فيه λ على القطر، وهو عمل معرّض للأخطاء ما وراء 2×2. تقوم هذه النقطة الطرفية بالفك عدديًا وبشكل حتمي لأي مصفوفة مربعة حتى 12×12، وتسلّمك المعاملات بصيغة يمكنك تمريرها مباشرة إلى برنامج إيجاد الجذور أو أداة رمزية أو خط المعالجة الخاص بك.
كيف تُحسب المعاملات
بدلًا من الفك الرمزي للمحدد det(λI − A) — الذي يولّد تضخمًا في التعابير الوسيطة ويكون بطيئًا عند تعميمه — يعتمد الحلّال على خوارزمية Faddeev–LeVerrier التكرارية، وهي خوارزمية كلاسيكية تسترجع جميع المعاملات باستخدام ضرب المصفوفات والآثار فقط. فبدءًا من مصفوفة الوحدة، تضرب كل خطوة في A وتأخذ الأثر وتقسمه على سالب رقم الخطوة، فتنتج معاملًا جديدًا في كل تكرار: n عمليات ضرب لمصفوفة n×n، أي بتعقيد O(n³) إجمالًا. هذه العلاقة التكرارية دقيقة في الحساب التام ومستقرة في حساب الفاصلة العائمة ضمن الأحجام المتواضعة التي تقبلها هذه الأداة.
ويرافق كل إجابة فحصان مستقلان: يجب أن يساوي المعامل الثاني سالب الأثر، وأن يساوي المعامل الأخير المحدد حتى الإشارة، وتُرجع القيمتان المشتقتان إلى جانب متجه المعاملات لتتمكن من مقارنتها بحسابك الخاص.
صيغة الإدخال والأخطاء والحدود
يمكنك إرسال المصفوفة بطريقتين. يجب أن يكون كل عنصر عددًا منتهيًا بقيمة مطلقة لا تتجاوز 10¹²، ويُحدَّد البعد بـ 12×12 — فما فوق ذلك يجعل النمو العددي للمعاملات في الفاصلة العائمة النتيجة العامة مضللة، وعندها ينبغي استخدام نظام جبر حاسوبي متخصص على أي حال. هذه النقطة الطرفية حساب بحت: لا يُخزَّن شيء ولا يُرسَل شيء إلى طرف ثالث، والمدخل نفسه يعطي دائمًا المخرج نفسه.
لا تُحتسب الأخطاء أبدًا ضمن رصيدك؛ فالحسابات الناجحة وحدها هي ما يُخصم من استخدامك.
حالات الاستخدام
تغذية برنامج لإيجاد جذور كثيرات الحدود
احصل على معاملات p(λ) برمجيًا ومررها إلى خطوة إيجاد الجذور للحصول على القيم الذاتية لمصفوفات أكبر من الحالة المغلقة 2×2.
التحقق من الواجبات وتمارين الكتب المدرسية
تحقق من كثير حدود مميز حسبته يدويًا لمصفوفات 3×3 أو 4×4، مع تأكيد كل معامل عبر فحصي الأثر والمحدد.
تحليل الأنظمة الديناميكية الخطية
استخرج كثير الحدود المميز لمصفوفة الحالة لدراسة الاستقرار، إذ إن مواقع جذور p(λ) تحدد ما إذا كان النظام متقاربًا أم متباعدًا.
الأسئلة الشائعة
كم تبلغ التكلفة؟
ويمكنك أيضًا تشغيله مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة — الشيفرة نفسها والنتيجة نفسها.
ما الذي يُرجَع بالضبط؟
معاملات p(λ) = det(λI − A) على هيئة مصفوفة، بدءًا بالمعامل الرئيسي (وهو دائمًا 1 لأن كثير الحدود موحَّد)، إضافة إلى كثير الحدود كنص، والأثر، والمحدد، وتتبع تفصيلي خطوة بخطوة للعملية التكرارية.
لماذا رُفضت مصفوفتي؟
يجب أن تكون المصفوفة مربعة: أي أن يحتوي كل صف على عدد من العناصر يساوي عدد الصفوف تمامًا.
ما الخوارزمية المستخدمة؟
خوارزمية Faddeev–LeVerrier التكرارية، التي تحسب كل معامل من جداءات المصفوفات وآثارها بتعقيد O(n³)، دون الفك الرمزي للمحدد.
هل تُخزَّن مصفوفتي في مكان ما؟
لا. تُعالَج المصفوفة في الذاكرة ثم تُهمَل؛ ولا يُرجَع سوى نتيجة كثير الحدود.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.characteristic_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 12 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تستقبل واجهة API لحساب كثير الحدود المميز مصفوفة مربعة — حتى 12×12 — وتُرجع معاملات p(λ) = det(λI − A) مرتبة بدءًا بالمعامل الرئيسي، وذلك باستخدام خوارزمية Faddeev–LeVerrier التكرارية. تعمل الخدمة مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة، وتكلف $0.002 لكل طلب عند استدعاء API من شيفرتك الخاصة.
كيف تُحسب المعاملات
تُقرَّب جميع الأعداد إلى اثني عشر موضعًا عشريًا ثابتًا، وهذا ما يجعل النسخة المجانية في المتصفح وAPI المدفوع يُرجعان JSON متطابقًا بايتًا ببايت على أي جهاز.
صيغة الإدخال والأخطاء والحدود
فعادة ما يمرر عملاء API مصفوفات JSON متداخلة — مصفوفة من الصفوف، وكل صف مصفوفة من الأعداد — بينما يقبل النموذج على الويب نصًا ملصوقًا بسطر لكل صف (أو مفصولًا بفواصل منقوطة) مع فصل العناصر بفواصل أو مسافات، وتُتحقق الصيغتان بالطريقة نفسها. يجب أن تكون المصفوفة مربعة: فإذا اختلف طول أي صف عن عدد الصفوف يُرفض الطلب بخطأ invalid_input يحدد بالضبط الصف المخالف، لأن المصفوفة المستطيلة لا كثير حدود مميز لها بهذا المعنى.
أسئلة تقنية
هل النتائج دقيقة تمامًا؟
بالنسبة للمصفوفات الصحيحة الصغيرة تكون المعاملات عادة أعدادًا صحيحة دقيقة بعد التقريب؛ وتُقرَّب جميع القيم إلى اثني عشر موضعًا عشريًا ليتطابق المتصفح وAPI بايتًا ببايت دائمًا.