Calcolatore di polinomio caratteristico
Calcoli il polinomio caratteristico di qualsiasi matrice quadrata fino a 12×12: la matrice con righe 2, 1 e 1, 2 dà λ² − 4λ + 3, con traccia 4 e determinante 3 mostrati come verifica. Gratis nel suo browser.
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Restituisce inoltre traccia e determinante come controlli integrati, più una stringa polinomiale leggibile, pronta da incollare in una relazione. Può inviare la matrice come array annidati o come righe di testo semplice, ottenendo ogni volta la stessa risposta deterministica. Input non quadrati o non numerici vengono rifiutati con un errore chiaro invece di risultati privi di senso.
Che cosa rivela davvero il polinomio caratteristico
Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A, scritto p(λ) = det(λI − A), è l'impronta digitale più compatta che una matrice possieda. Le sue radici sono esattamente gli autovalori di A, contati con la loro molteplicità, quindi quasi ogni domanda sul comportamento spettrale — stabilità di un sistema dinamico, frequenze di risonanza di una struttura, crescita a lungo termine di una ricorrenza — inizia scrivendo questo polinomio.
Due coefficienti sono celebri di per sé: il coefficiente di λⁿ⁻¹ è l'opposto della traccia di A, e il termine noto è il determinante, a meno del segno, a seconda che la dimensione sia pari o dispari. Il teorema di Cayley–Hamilton aggiunge che ogni matrice soddisfa il proprio polinomio caratteristico, il trucco alla base del calcolo di potenze elevate ed esponenziali di matrice senza diagonalizzare. Calcolando p(λ) a mano si sviluppa un determinante con λ sulla diagonale, operazione soggetta a errori oltre il caso 2×2.
Come vengono calcolati i coefficienti
Invece di sviluppare simbolicamente det(λI − A) — che genera un'esplosione delle espressioni intermedie ed è lento in generale — il risolutore usa la ricorsione di Faddeev–LeVerrier, un algoritmo classico che ricava ogni coefficiente usando solo moltiplicazioni di matrici e tracce. Partendo dalla matrice identità, ogni passo moltiplica per A, calcola la traccia e divide per l'opposto dell'indice del passo, producendo un nuovo coefficiente a ogni iterazione: n moltiplicazioni per una matrice n×n, aritmetica O(n³) complessiva.
La ricorsione è esatta in aritmetica esatta e ben comportata in virgola mobile per le dimensioni modeste che questo strumento accetta. Due controlli indipendenti accompagnano ogni risposta: il secondo coefficiente deve essere l'opposto della traccia e l'ultimo deve uguagliare il determinante a meno del segno; entrambi i valori derivati vengono restituiti insieme al vettore dei coefficienti, così può verificarli rispetto al Suo calcolo.
Formato di input, errori e limiti
Può inviare la matrice in due modi. Ogni voce deve essere un numero finito con valore assoluto fino a 10¹², e la dimensione è limitata a 12×12 — oltre, la crescita dei coefficienti in virgola mobile rende fuorviante una risposta numerica generica e conviene comunque usare un sistema di algebra computazionale dedicato. Gli errori non vengono mai addebitati; solo i calcoli riusciti contano ai fini del consumo.
Casi d'uso
Alimentare un solutore di radici polinomiali
Ottenga i coefficienti di p(λ) in modo programmatico e li passi a una fase di ricerca delle radici per ricavare gli autovalori di matrici più grandi del caso 2×2 in forma chiusa.
Verificare compiti ed esercizi dei libri
Verifichi un polinomio caratteristico calcolato a mano per matrici 3×3 o 4×4, con i controlli su traccia e determinante che confermano ogni coefficiente.
Analizzare sistemi dinamici lineari
Estragga il polinomio caratteristico di una matrice di stato per studiarne la stabilità: la posizione delle radici di p(λ) determina se il sistema converge o diverge.
Domande frequenti
Quanto costa?
È anche gratuita nel browser su questa pagina — stesso codice, stesso risultato.
Che cosa viene restituito esattamente?
I coefficienti di p(λ) = det(λI − A) come array, a partire dal coefficiente direttore (sempre 1, poiché il polinomio è monico), più il polinomio come stringa, la traccia, il determinante e una traccia passo passo della ricorsione.
Perché la mia matrice è stata rifiutata?
La matrice deve essere quadrata: ogni riga deve avere esattamente tante voci quante sono le righe.
Quale algoritmo viene usato?
La ricorsione di Faddeev–LeVerrier, che calcola ogni coefficiente da prodotti di matrici e tracce in aritmetica O(n³), senza sviluppo simbolico del determinante.
La mia matrice viene archiviata da qualche parte?
No. La matrice viene elaborata in memoria e scartata; viene restituito solo il polinomio risultante.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", {
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", body)
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.characteristic_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 12 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
L'API del polinomio caratteristico accetta una matrice quadrata — fino a 12×12 — e restituisce i coefficienti di p(λ) = det(λI − A), a partire dal coefficiente direttore, calcolati con la ricorsione di Faddeev–LeVerrier. L'esecuzione è gratuita nel browser su questa pagina e costa $0.002 a richiesta quando chiama l'API dal proprio codice.
Che cosa rivela davvero il polinomio caratteristico
Questo endpoint esegue lo sviluppo in modo numerico e deterministico per qualsiasi matrice quadrata fino a 12×12 e Le consegna i coefficienti in una forma pronta per un solutore di radici, uno strumento simbolico o la Sua pipeline.
Come vengono calcolati i coefficienti
Tutti i numeri sono arrotondati a dodici cifre decimali fisse: è ciò che rende la versione gratuita nel browser e l'API a pagamento identiche byte per byte su ogni macchina.
Formato di input, errori e limiti
I client API di solito passano array JSON annidati — un array di righe, ogni riga un array di numeri — mentre il modulo web accetta testo incollato con una riga per linea (o separate da punto e virgola) e voci separate da virgole o spazi; entrambe le forme sono validate allo stesso modo. La matrice deve essere quadrata: se una riga ha una lunghezza diversa dal numero di righe, la richiesta viene rifiutata con un errore invalid_input che indica esattamente quale riga è errata, perché una matrice rettangolare non ha polinomio caratteristico in questo senso. L'endpoint è pura computazione: nulla viene archiviato, nulla viene inviato a terzi e lo stesso input produce sempre lo stesso output.
Domande tecniche
I risultati sono esatti?
Per matrici intere di piccole dimensioni i coefficienti sono tipicamente interi esatti dopo l'arrotondamento; tutti i valori sono arrotondati a dodici cifre decimali, così browser e API concordano sempre byte per byte.