Charakteristisches-Polynom-Rechner
Sie erhalten das charakteristische Polynom jeder quadratischen Matrix bis 12×12: Die Matrix mit den Zeilen 2, 1 und 1, 2 ergibt λ² − 4λ + 3, dazu Spur 4 und Determinante 3 als Kontrolle. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Zusätzlich erhalten Sie Spur und Determinante als eingebaute Kontrollwerte sowie eine lesbare Polynom-Darstellung, die Sie direkt in einen Bericht übernehmen können. Sie können die Matrix als verschachtelte Arrays oder als reine Textzeilen senden und erhalten jedes Mal dasselbe deterministische Ergebnis. Nicht quadratische oder nicht numerische Eingaben werden mit einer klaren Fehlermeldung abgelehnt, statt stillschweigend Unsinn zu liefern.
Was das charakteristische Polynom tatsächlich aussagt
Das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix A, geschrieben p(λ) = det(λI − A), ist der kompakteste Fingerabdruck, den eine Matrix besitzt. Seine Nullstellen sind genau die Eigenwerte von A, gezählt mit Vielfachheit, sodass fast jede Frage zum Spektralverhalten — Stabilität eines dynamischen Systems, Resonanzfrequenzen einer Struktur, das langfristige Wachstum einer Rekurrenz — damit beginnt, dieses Polynom aufzustellen. Zwei Koeffizienten sind für sich genommen berühmt: Der Koeffizient von λⁿ⁻¹ ist die negative Spur von A, und der konstante Term ist je nach gerader oder ungerader Dimension plus oder minus die Determinante.
Der Satz von Cayley–Hamilton ergänzt, dass jede Matrix ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt — der Trick hinter der Berechnung hoher Matrixpotenzen und Matrixexponentialfunktionen ohne Diagonalisierung. Wer p(λ) von Hand berechnet, entwickelt eine Determinante mit λ auf der Diagonalen, was jenseits von 2×2 fehleranfällig ist. Dieser Endpunkt führt die Entwicklung numerisch und deterministisch für jede quadratische Matrix bis 12×12 durch und liefert die Koeffizienten in einer Form, die Sie direkt in einen Nullstellenlöser, ein symbolisches Werkzeug oder Ihre eigene Pipeline einspeisen können.
Wie die Koeffizienten berechnet werden
Statt det(λI − A) symbolisch zu entwickeln — was zu aufgeblähten Zwischenausdrücken führt und generisch langsam ist — verwendet der Löser die Faddeev–LeVerrier-Rekursion, einen klassischen Algorithmus, der jeden Koeffizienten allein aus Matrixmultiplikationen und Spuren gewinnt. Ausgehend von der Einheitsmatrix wird in jedem Schritt mit A multipliziert, die Spur gebildet und durch den negativen Schrittindex geteilt, was pro Iteration einen neuen Koeffizienten liefert: n Multiplikationen für eine n×n-Matrix, insgesamt O(n³) Rechenaufwand. Die Rekursion ist in exakter Arithmetik exakt und verhält sich bei Gleitkommazahlen für die bescheidenen Größen dieses Werkzeugs gutartig.
Zwei unabhängige Kontrollen begleiten jede Antwort: Der zweite Koeffizient muss der negativen Spur entsprechen, und der letzte Koeffizient muss bis aufs Vorzeichen der Determinante entsprechen; beide abgeleiteten Werte werden zusammen mit dem Koeffizientenvektor zurückgegeben, damit Sie sie mit Ihrer eigenen Rechnung abgleichen können.
Eingabeformat, Fehler und Grenzen
Sie können die Matrix auf zwei Arten senden. Jeder Eintrag muss eine endliche Zahl mit einem Betrag bis 10¹² sein, und die Dimension ist auf 12×12 begrenzt — darüber macht das Wachstum der Gleitkommakoeffizienten eine generische numerische Antwort irreführend, und Sie sollten ohnehin ein spezialisiertes Computeralgebrasystem verwenden. Der Endpunkt ist reine Berechnung: Nichts wird gespeichert, nichts an Dritte gesendet, und dieselbe Eingabe erzeugt stets dieselbe Ausgabe.
Fehler werden nie berechnet; nur erfolgreiche Berechnungen zählen auf Ihr Kontingent.
Anwendungsfälle
Einen Polynom-Nullstellenlöser speisen
Ermitteln Sie die Koeffizienten von p(λ) programmgesteuert und übergeben Sie sie an einen Nullstellenschritt, um Eigenwerte für Matrizen zu erhalten, die über den geschlossen lösbaren 2×2-Fall hinausgehen.
Hausaufgaben und Lehrbuchaufgaben prüfen
Verifizieren Sie ein von Hand berechnetes charakteristisches Polynom für 3×3- oder 4×4-Matrizen — mit den Spur- und Determinantenkontrollen, die jeden Koeffizienten bestätigen.
Lineare dynamische Systeme analysieren
Extrahieren Sie das charakteristische Polynom einer Zustandsmatrix, um die Stabilität zu untersuchen, denn die Lage der Nullstellen von p(λ) entscheidet, ob das System konvergiert oder divergiert.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Außerdem läuft die Berechnung kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite — gleicher Code, gleiches Ergebnis.
Was genau wird zurückgegeben?
Die Koeffizienten von p(λ) = det(λI − A) als Array, beginnend mit dem Leitkoeffizienten (immer 1, da das Polynom normiert ist), dazu das Polynom als Zeichenkette, die Spur, die Determinante und eine schrittweise Aufzeichnung der Rekursion.
Warum wurde meine Matrix abgelehnt?
Die Matrix muss quadratisch sein: Jede Zeile muss genau so viele Einträge haben, wie es Zeilen gibt.
Welcher Algorithmus wird verwendet?
Die Faddeev–LeVerrier-Rekursion, die jeden Koeffizienten aus Matrixprodukten und Spuren in O(n³) Rechenaufwand berechnet — ohne symbolische Determinantenentwicklung.
Wird meine Matrix irgendwo gespeichert?
Nein. Die Matrix wird im Arbeitsspeicher verarbeitet und verworfen; nur das Polynom-Ergebnis wird zurückgegeben.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.characteristic_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 12 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API für das charakteristische Polynom nimmt eine quadratische Matrix — bis zu 12×12 — entgegen und liefert die Koeffizienten von p(λ) = det(λI − A), beginnend mit dem Leitkoeffizienten, berechnet mit der Faddeev–LeVerrier-Rekursion. Die Berechnung läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite und kostet $0.002 pro Anfrage, wenn Sie die API aus Ihrem eigenen Code aufrufen.
Wie die Koeffizienten berechnet werden
Alle Zahlen werden auf fest zwölf Dezimalstellen gerundet — das sorgt dafür, dass die kostenlose Browser-Version und die kostenpflichtige API auf jedem Rechner byteidentisches JSON liefern.
Eingabeformat, Fehler und Grenzen
API-Clients übergeben in der Regel verschachtelte JSON-Arrays — ein Array von Zeilen, jede Zeile ein Array von Zahlen —, während das Webformular eingefügten Text mit einer Zeile pro Zeile (oder durch Semikola getrennt) und Einträgen akzeptiert, die durch Kommas oder Leerzeichen getrennt sind; beide Formen werden identisch validiert. Die Matrix muss quadratisch sein: Hat eine Zeile eine andere Länge als die Zeilenanzahl, wird die Anfrage mit einem invalid_input-Fehler abgelehnt, der genau angibt, welche Zeile falsch ist — eine rechteckige Matrix hat in diesem Sinn kein charakteristisches Polynom.
Technische Fragen
Sind die Ergebnisse exakt?
Bei ganzzahligen Matrizen kleiner Größe sind die Koeffizienten nach der Rundung typischerweise exakte ganze Zahlen; alle Werte werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Browser und API stets Byte für Byte übereinstimmen.