Calculadora de polinomio característico
Calcule el polinomio característico de cualquier matriz cuadrada de hasta 12×12: la matriz con filas 2, 1 y 1, 2 da λ² − 4λ + 3, con su traza de 4 y su determinante de 3 como comprobación. Gratis en su navegador.
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También devuelve la traza y el determinante como comprobaciones integradas, y una cadena legible del polinomio lista para pegar en un informe. Puede enviar la matriz como arreglos anidados o como filas de texto plano, y obtiene la misma respuesta determinista cada vez. Las entradas no cuadradas o no numéricas se rechazan con un error claro en lugar de producir resultados absurdos silenciosos.
Lo que realmente le dice el polinomio característico
El polinomio característico de una matriz cuadrada A, escrito p(λ) = det(λI − A), es la huella más compacta que tiene una matriz. Sus raíces son exactamente los autovalores de A, contando su multiplicidad, así que casi toda pregunta sobre comportamiento espectral —estabilidad de un sistema dinámico, frecuencias de resonancia de una estructura, crecimiento a largo plazo de una recurrencia— comienza por escribir este polinomio.
Dos coeficientes son célebres por derecho propio: el coeficiente de λⁿ⁻¹ es menos la traza de A, y el término constante es más o menos el determinante, según la dimensión sea par o impar. El teorema de Cayley–Hamilton añade que toda matriz satisface su propio polinomio característico, truco que permite calcular potencias altas de matrices y exponenciales de matrices sin diagonalizar. Cuando usted calcula p(λ) a mano, desarrolla un determinante con λ en la diagonal, lo cual es propenso a errores más allá de 2×2.
Cómo se calculan los coeficientes
En lugar de desarrollar simbólicamente det(λI − A) —lo que genera expresiones intermedias infladas y es lento de forma genérica—, el solucionador usa la recurrencia de Faddeev–LeVerrier, un algoritmo clásico que recupera cada coeficiente usando solo multiplicación de matrices y trazas. Partiendo de la matriz identidad, cada paso multiplica por A, toma la traza y divide entre menos el índice del paso, produciendo un coeficiente nuevo por iteración: n multiplicaciones para una matriz n×n, aritmética O(n³) en total.
La recurrencia es exacta en aritmética exacta y se comporta bien en punto flotante para los tamaños modestos que acepta esta herramienta. Cada respuesta incluye dos comprobaciones independientes: el segundo coeficiente debe ser igual a menos la traza, y el último coeficiente debe ser igual al determinante salvo el signo, y ambos valores derivados se devuelven junto al vector de coeficientes para que usted pueda verificarlos contra su propio cálculo.
Formato de entrada, errores y límites
Puede enviar la matriz de dos maneras. Cada entrada debe ser un número finito con valor absoluto de hasta 10¹², y la dimensión está limitada a 12×12 —por encima de eso, el crecimiento de los coeficientes en punto flotante hace que una respuesta numérica genérica sea engañosa y, de todos modos, debería usar un sistema de álgebra computacional dedicado. Los errores nunca se cobran; solo los cálculos exitosos cuentan contra su uso.
Qué puede hacer con ella
Alimentar un buscador de raíces de polinomios
Obtenga los coeficientes de p(λ) programáticamente y páselos a un paso de búsqueda de raíces para conseguir autovalores de matrices más grandes que el caso 2×2 de forma cerrada.
Revisar tareas y ejercicios de libros de texto
Verifique un polinomio característico calculado a mano para matrices 3×3 o 4×4, con las comprobaciones de traza y determinante confirmando cada coeficiente.
Analizar sistemas dinámicos lineales
Extraiga el polinomio característico de una matriz de estado para estudiar la estabilidad, ya que la ubicación de las raíces de p(λ) determina si el sistema converge o diverge.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
También es gratis ejecutarlo en su navegador en esta página —mismo código, mismo resultado.
¿Qué se devuelve exactamente?
Los coeficientes de p(λ) = det(λI − A) como un arreglo, empezando por el coeficiente principal (siempre 1, ya que el polinomio es mónico), además del polinomio como cadena de texto, la traza, el determinante y un seguimiento paso a paso de la recurrencia.
¿Por qué se rechazó mi matriz?
La matriz debe ser cuadrada: cada fila debe tener exactamente tantas entradas como filas hay.
¿Qué algoritmo se utiliza?
La recurrencia de Faddeev–LeVerrier, que calcula cada coeficiente a partir de productos de matrices y trazas con aritmética O(n³), sin desarrollo simbólico del determinante.
¿Se almacena mi matriz en algún lugar?
No. La matriz se procesa en memoria y se descarta; solo se devuelve el polinomio resultante.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/characteristic-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
2
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.characteristic_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 12 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La API de polinomio característico recibe una matriz cuadrada —hasta 12×12— y devuelve los coeficientes de p(λ) = det(λI − A), comenzando por el coeficiente principal, calculados con la recurrencia de Faddeev–LeVerrier. Funciona gratis en su navegador en esta página, y cuesta $0.002 por solicitud cuando llama a la API desde su propio código.
Lo que realmente le dice el polinomio característico
Este endpoint realiza el desarrollo de forma numérica y determinista para cualquier matriz cuadrada hasta 12×12, y le entrega los coeficientes en un formato que puede alimentar directamente a un buscador de raíces, una herramienta simbólica o su propio pipeline.
Cómo se calculan los coeficientes
Todos los números se redondean a doce decimales fijos, lo que hace que la versión gratuita del navegador y la API de pago devuelvan JSON idéntico byte a byte en cualquier máquina.
Formato de entrada, errores y límites
Los clientes de la API suelen pasar arreglos JSON anidados —un arreglo de filas, cada fila un arreglo de números—, mientras que el formulario web acepta texto pegado con una fila por línea (o separadas por punto y coma) y entradas separadas por comas o espacios; ambas formas se validan de manera idéntica. La matriz debe ser cuadrada: si alguna fila tiene una longitud distinta del número de filas, la solicitud se rechaza con un error invalid_input que indica exactamente qué fila está mal, porque una matriz rectangular no tiene polinomio característico en este sentido. El endpoint es computación pura: nada se almacena, nada se envía a terceros, y la misma entrada siempre produce la misma salida.
Preguntas técnicas
¿Los resultados son exactos?
Para matrices enteras de tamaño pequeño, los coeficientes suelen ser enteros exactos tras el redondeo; todos los valores se redondean a doce decimales para que el navegador y la API siempre coincidan byte por byte.