Calcolatore di autovalori e autovettori

Il calcolatore di autovalori e autovettori prende una matrice quadrata — fino a 50×50, inserita riga per riga — e restituisce l'insieme completo delle sue coppie proprie reali: ogni autovalore insieme al corrispondente autovettore, normalizzato a lunghezza unitaria e ordinato dall'autovalore più grande al più piccolo. Le coppie proprie sono l'impronta di una trasformazione lineare: indicano quali direzioni lascia invariate e di quanto ne dilata ciascuna, e sono alla base di tutto, dall'analisi delle vibrazioni e delle verifiche di stabilità a PageRank, alle catene di Markov e all'analisi delle componenti principali. Invece di sviluppare a mano il polinomio caratteristico o di installare una libreria numerica, Lei invia gli elementi e riceve le coppie proprie in una sola chiamata deterministica, arrotondate alla precisione che sceglie. Lo stesso modulo viene eseguito gratuitamente nel Suo browser su questa pagina, quindi paga solo quando automatizza il flusso di lavoro.

Cosa rivela una coppia propria

Un autovettore di una matrice quadrata A è un vettore non nullo che A si limita a scalare: A·v = λ·v per un certo scalare λ, l'autovalore. Geometricamente, un autovettore punta lungo un asse che la trasformazione non ruota né deforma — lo allunga o lo comprime soltanto, di un fattore λ.

La coppia (λ, v) è detta coppia propria, e il calcolatore di autovalori e autovettori restituisce esattamente questo: un record per autovalore contenente l'autovalore stesso e il corrispondente autovettore unitario, in modo che la corrispondenza non possa mai essere fraintesa. Le coppie sono ordinate dall'autovalore più grande al più piccolo, il che pone in prima posizione la direzione dominante del sistema — quella che governa il comportamento a lungo termine nei processi iterativi.

Gli autovalori negativi codificano un'inversione di direzione, un autovalore nullo rivela un nucleo non banale e una matrice non invertibile, e gli autovalori ripetuti segnalano simmetrie del problema. Se la matrice non è quadrata, la richiesta viene rifiutata subito, perché le coppie proprie sono definite solo per matrici quadrate; e se la matrice ha autovalori complessi, lo strumento lo dice invece di inventare numeri reali.

Come funziona il calcolo

L'algoritmo è completamente deterministico — nessun vettore iniziale casuale, nessun numero di iterazioni che vari da un'esecuzione all'altra — quindi la stessa matrice restituisce sempre le stesse coppie proprie, byte per byte. Le matrici simmetriche, che compaiono costantemente nell'analisi della covarianza, nella meccanica strutturale e nell'ottimizzazione, vengono elaborate con spazzate cicliche di Jacobi: una sequenza fissa di rotazioni piane che annulla gli elementi fuori diagonale accumulando le rotazioni nella matrice degli autovettori.

Jacobi non è il metodo più veloce in teoria, ma è notevolmente accurato alle dimensioni piccole e medie che questo strumento accetta, e gestisce con disinvoltura gli autovalori ripetuti, dove i metodi delle potenze più semplici falliscono. Le matrici generali non simmetriche vengono trattate con un'iterazione QR con shift di Wilkinson per estrarre gli autovalori, seguita dall'iterazione inversa sulla matrice originale per recuperare un autovettore per autovalore.

Prima di rispondere, lo strumento verifica che gli autovettori recuperati siano linearmente indipendenti; in caso contrario — come con la classica matrice difettosa [[1,1],[0,1]] — la richiesta fallisce con un errore chiaro anziché con una risposta sbagliata dall'aria plausibile. Ogni autovalore e ogni elemento di autovettore viene arrotondato alla precisione decimale richiesta, da 0 a 15 cifre, con dieci come valore predefinito.

Dove si usano le coppie proprie

Le coppie proprie compaiono ovunque un sistema lineare evolva o vibri. In ingegneria, le frequenze naturali di una struttura sono le radici quadrate degli autovalori del suo sistema rigidezza-massa, e gli autovettori sono le forme modali — il modo in cui la struttura si muove a ciascuna frequenza. Nella scienza dei dati, l'analisi delle componenti principali non è altro che la decomposizione propria di una matrice di covarianza: gli autovettori sono le direzioni principali e gli autovalori misurano quanta varianza cattura ciascuna.

La ricerca web deve la sua esistenza a una coppia propria: PageRank è l'autovettore dominante della matrice dei link del web. L'analisi delle catene di Markov funziona allo stesso modo — l'autovalore dominante indica se la catena converge e il suo autovettore è lo stato stazionario.