Calculadora de decomposição polar

A decomposição polar fatoreia uma matriz real quadrada A como o produto de uma matriz ortogonal U e uma matriz simétrica semidefinida positiva única P, escrita A = U P. O fator de estiramento P é a raiz quadrada matricial de A transposta vezes A; o fator ortogonal U é a rotação ou reflexão mais próxima de A na norma de Frobenius e vem dos vetores singulares esquerdo e direito. Códigos de mecânica do contínuo recuperam assim uma rotação a partir de um gradiente de deformação; pipelines de robótica e de computação gráfica extraem um movimento rígido de um mapa linear; analistas numéricos projetam uma matriz calculada de volta sobre SO(n) ou O(n).

O que A = U P significa e como os dois fatores são únicos

A decomposição polar direita de uma matriz real quadrada A é a fatoração A = U P em que U é ortogonal (U transposta vezes U iguala a identidade) e P é simétrica e semidefinida positiva. O fator de estiramento P é único para toda A quadrada: é a única raiz quadrada semidefinida positiva da matriz de Gram A transposta A. Quando A é invertível, o fator ortogonal também é único e iguala A vezes a inversa de P.

Quando A é singular, U continua sendo uma matriz ortogonal mais próxima de A na norma de Frobenius, obtida de uma decomposição em valores singulares A = W Σ V-transposta pelo produto U = W V-transposta, enquanto P iguala V Σ V-transposta. Geometricamente U é uma rotação ou uma rotação composta com uma reflexão, e P estica ao longo de um conjunto ortonormal de eixos pelos valores singulares de A.

É por isso que a mecânica do contínuo escreve um gradiente de deformação como R U (ou V R) e por isso o problema ortogonal de Procrustes se resolve com o fator polar de uma covariância cruzada. A decomposição polar esquerda A = P_left U usa o mesmo fator ortogonal e a raiz quadrada de A A-transposta; esta calculadora devolve a forma direita A = U P, que é a convenção da maioria dos livros e códigos de produção.

Para uma matriz um por um os fatores se reduzem ao sinal da entrada e ao seu valor absoluto, tomando o sinal de zero como mais um. Para uma matriz já ortogonal o estiramento é a identidade e U iguala A. Para uma matriz já simétrica semidefinida positiva o fator ortogonal é a identidade e P iguala A.

Essas três conferências são o jeito mais rápido de validar uma implementação antes de confiar em um gradiente de deformação três por três vindo de um dump de simulação.

Onde a decomposição polar é útil

Salas de aula e cadernos de álgebra linear usam uma calculadora de decomposição polar para que os alunos confiram que U-transposta U iguala a identidade e que P iguala P-transposta com autovalores não negativos, sem levantar um sistema de álgebra computacional completo para uma matriz de lição de casa três por três.

Pós-processadores de mecânica do contínuo e de elementos finitos recuperam um tensor de rotação a partir de um gradiente de deformação F lendo o fator ortogonal e um tensor de estiramento a partir do fator positivo, que é exatamente a decomposição polar direita F = R U ensinada em todo curso de contínuos.

Pipelines de robótica, visão computacional e gráficos resolvem o problema ortogonal de Procrustes — achar a rotação mais próxima de um mapa três por três calculado — tomando o fator polar desse mapa, o que é mais barato e estável em um worker de borda do que montar uma biblioteca SVD densa explícita. Códigos de controle e identificação que precisam projetar uma matriz quase ortogonal de volta sobre O(n) depois de uma atualização ruidosa fazem a mesma projeção em uma única chamada. Validação que falha não consome saldo.

Mantenha n no máximo dezesseis, fixe os fatores arredondados nos testes e você obtém U e P reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers de borda sem importar uma biblioteca própria de álgebra linear densa.