Calculadora de descomposición polar

La descomposición polar factoriza una matriz real cuadrada A como el producto de una matriz ortogonal U y una matriz simétrica semidefinida positiva única P, escrita A = U P. El factor de estiramiento P es la raíz cuadrada matricial de A traspuesta por A; el factor ortogonal U es la rotación o reflexión más próxima a A en la norma de Frobenius y procede de los vectores singulares izquierdos y derechos. Los códigos de mecánica del continuo recuperan así una rotación a partir de un gradiente de deformación; las tuberías de robótica y de infografía extraen un movimiento rígido de una aplicación lineal; los analistas numéricos proyectan una matriz calculada de vuelta sobre SO(n) u O(n). Este extremo acepta un arreglo n por n de números finitos, ejecuta una descomposición en valores singulares de Jacobi determinista sin red y sin azar, y devuelve ambas matrices factor más los valores singulares, det(U), un residual de A menos U P y un indicador de invertibilidad.

Qué significa A = U P y cómo ambos factores son únicos

La descomposición polar derecha de una matriz real cuadrada A es la factorización A = U P en la que U es ortogonal (U traspuesta por U iguala la identidad) y P es simétrica y semidefinida positiva. El factor de estiramiento P es único para toda A cuadrada: es la única raíz cuadrada semidefinida positiva de la matriz de Gram A traspuesta A. Cuando A es invertible, el factor ortogonal también es único e iguala A por la inversa de P.

Cuando A es singular, U sigue siendo una matriz ortogonal más próxima a A en la norma de Frobenius, obtenida de una descomposición en valores singulares A = W Σ V-traspuesta mediante el producto U = W V-traspuesta, mientras que P iguala V Σ V-traspuesta. Geométricamente U es una rotación o una rotación compuesta con una reflexión, y P estira a lo largo de un conjunto ortonormal de ejes según los valores singulares de A.

Por eso la mecánica del continuo escribe un gradiente de deformación como R U (o V R) y por eso el problema ortogonal de Procrustes se resuelve con el factor polar de una covarianza cruzada. La descomposición polar izquierda A = P_left U usa el mismo factor ortogonal y la raíz cuadrada de A A-traspuesta; esta calculadora devuelve la forma derecha A = U P, que es el convenio que adoptan la mayoría de los manuales y códigos de producción.

Para una matriz uno por uno los factores se reducen al signo de la entrada y a su valor absoluto, tomando el signo de cero como más uno. Para una matriz ya ortogonal el estiramiento es la identidad y U iguala A. Para una matriz ya simétrica semidefinida positiva el factor ortogonal es la identidad y P iguala A.

Esas tres comprobaciones son el modo más rápido de confirmar una implementación antes de confiar en un gradiente de deformación tres por tres procedente de un volcado de simulación.

Dónde resulta útil la descomposición polar

Las aulas y los cuadernos de álgebra lineal usan una calculadora de descomposición polar para que el alumnado compruebe que U-traspuesta U iguala la identidad y que P iguala P-traspuesta con autovalores no negativos, sin levantar un sistema de álgebra computacional completo para una matriz de tarea tres por tres.

Los posprocesadores de mecánica del continuo y de elementos finitos recuperan un tensor de rotación a partir de un gradiente de deformación F leyendo el factor ortogonal y un tensor de estiramiento a partir del factor positivo, que es exactamente la descomposición polar derecha F = R U enseñada en todo curso de continuos.

Las tuberías de robótica, visión por computador e infografía resuelven el problema ortogonal de Procrustes —hallar la rotación más próxima a una aplicación tres por tres calculada— tomando el factor polar de esa aplicación, lo cual es más barato y estable en un worker de borde que ensamblar una biblioteca SVD densa explícita. Los códigos de control e identificación que deben proyectar una matriz casi ortogonal de vuelta sobre O(n) tras una actualización ruidosa hacen la misma proyección en una sola llamada. La validación fallida no consume saldo.

Mantenga n como máximo dieciséis, fije los factores redondeados en las pruebas y obtendrá U y P reproducibles para tareas, complementos LMS y workers de borde sin importar una biblioteca propia de álgebra lineal densa.