Decomposizione polare

La decomposizione polare fattorizza una matrice reale quadrata A come prodotto di una matrice ortogonale U e di una matrice simmetrica semidefinita positiva unica P, scritta A = U P. Il fattore di stiramento P è la radice quadrata matriciale di A trasposta per A; il fattore ortogonale U è la rotazione o riflessione più vicina ad A nella norma di Frobenius e proviene dai vettori singolari sinistro e destro. I codici di meccanica del continuo recuperano così una rotazione da un gradiente di deformazione; le pipeline di robotica e di grafica computerizzata estraggono un moto rigido da un'applicazione lineare; gli analisti numerici proiettano una matrice calcolata di nuovo su SO(n) o O(n).

Che cosa significa A = U P e come entrambi i fattori sono unici

La decomposizione polare destra di una matrice reale quadrata A è la fattorizzazione A = U P in cui U è ortogonale (U trasposta per U uguaglia l'identità) e P è simmetrica e semidefinita positiva. Il fattore di stiramento P è unico per ogni A quadrata: è l'unica radice quadrata semidefinita positiva della matrice di Gram A trasposta A. Quando A è invertibile il fattore ortogonale è unico anch'esso e uguaglia A per l'inversa di P.

Quando A è singolare U resta una matrice ortogonale più vicina ad A nella norma di Frobenius, ottenuta da una decomposizione in valori singolari A = W Σ V-trasposta mediante il prodotto U = W V-trasposta, mentre P uguaglia V Σ V-trasposta. Geometricamente U è una rotazione o una rotazione composta con una riflessione, e P stira lungo un insieme ortonormale di assi secondo i valori singolari di A.

Per questo la meccanica del continuo scrive un gradiente di deformazione come R U (o V R) e per questo il problema ortogonale di Procrustes si risolve con il fattore polare di una covarianza incrociata. La decomposizione polare sinistra A = P_left U usa lo stesso fattore ortogonale e la radice quadrata di A A-trasposta; questo calcolatore restituisce la forma destra A = U P, convenzione adottata dalla maggior parte dei manuali e dei codici di produzione.

Per una matrice uno per uno i fattori si riducono al segno della voce e al suo valore assoluto, prendendo il segno di zero come più uno. Per una matrice già ortogonale lo stiramento è l'identità e U uguaglia A. Per una matrice già simmetrica semidefinita positiva il fattore ortogonale è l'identità e P uguaglia A.

Quei tre controlli sono il modo più rapido per confermare un'implementazione prima di fidarsi di un gradiente di deformazione tre per tre proveniente da un dump di simulazione.

Dove la decomposizione polare è utile

Le aule e i quaderni di algebra lineare usano un calcolatore di decomposizione polare affinché gli studenti possano verificare che U-trasposta U uguagli l'identità e che P uguagli P-trasposta con autovalori non negativi, senza erigere un sistema di algebra computazionale completo per una matrice di compito tre per tre.

I post-processori di meccanica del continuo e di elementi finiti recuperano un tensore di rotazione da un gradiente di deformazione F leggendo il fattore ortogonale e un tensore di stiramento dal fattore positivo, che è esattamente la decomposizione polare destra F = R U insegnata in ogni corso di continui.

Le pipeline di robotica, visione artificiale e grafica risolvono il problema ortogonale di Procrustes — trovare la rotazione più vicina a un'applicazione tre per tre calcolata — prendendo il fattore polare di quella applicazione, il che è più economico e stabile su un worker di bordo che assemblare una libreria SVD densa esplicita. I codici di controllo e identificazione che devono proiettare una matrice quasi ortogonale di nuovo su O(n) dopo un aggiornamento rumoroso eseguono la stessa proiezione in una sola chiamata. La convalida fallita non consuma saldo.

Tenga n al massimo pari a sedici, fissi i fattori arrotondati nei test e otterrà U e P riproducibili per i compiti, i plugin LMS e i worker di bordo senza importare una propria libreria di algebra lineare densa.