Polarzerlegung

Die Polarzerlegung faktorisiert eine reelle quadratische Matrix A als Produkt einer orthogonalen Matrix U und einer eindeutigen symmetrischen positiv semidefiniten Matrix P, geschrieben A = U P. Der Streckfaktor P ist die Matrixquadratwurzel von A-transponiert mal A; der orthogonale Faktor U ist die nächste Drehung oder Spiegelung zu A in der Frobenius-Norm und stammt aus den linken und rechten Singulärvektoren. Kontinuumsmechanische Codes gewinnen so eine Drehung aus einem Deformationsgradienten; Robotik- und Computergrafik-Pipelines extrahieren eine Starrkörperbewegung aus einer linearen Abbildung; numerische Analysten projizieren eine berechnete Matrix zurück auf SO(n) oder O(n). Dieser Endpunkt nimmt ein n-mal-n-Array endlicher Zahlen entgegen, führt eine deterministische Jacobi-Singulärwertzerlegung ohne Netz und ohne Zufall aus und liefert beide Faktormatrizen sowie die Singulärwerte, det(U), ein Residuum von A minus U P und ein Invertierbarkeitskennzeichen.

Was A = U P bedeutet und wie beide Faktoren eindeutig sind

Die rechte Polarzerlegung einer reellen quadratischen Matrix A ist die Faktorisierung A = U P, in der U orthogonal ist (U-transponiert mal U gleicht der Einheitsmatrix) und P symmetrisch und positiv semidefinit ist. Der Streckfaktor P ist für jede quadratische A eindeutig: er ist die eindeutige positiv semidefinite Quadratwurzel der Gram-Matrix A-transponiert A. Ist A invertierbar, so ist auch der orthogonale Faktor eindeutig und gleicht A mal der Inversen von P.

Ist A singulär, bleibt U dennoch eine nächste orthogonale Matrix zu A in der Frobenius-Norm, gewonnen aus einer Singulärwertzerlegung A = W Σ V-transponiert durch das Produkt U = W V-transponiert, während P gleich V Σ V-transponiert ist. Geometrisch ist U eine Drehung oder eine Drehung, zusammengesetzt mit einer Spiegelung, und P streckt entlang einer orthonormalen Achsenmenge um die Singulärwerte von A. Deshalb schreibt die Kontinuumsmechanik einen Deformationsgradienten als R U (oder V R) und deshalb wird das orthogonale Procrustes-Problem durch den Polarfaktor einer Kreuzkovarianz gelöst.

Die linke Polarzerlegung A = P_left U verwendet denselben orthogonalen Faktor und die Quadratwurzel von A A-transponiert; dieser Rechner liefert die rechte Form A = U P, die Konvention der meisten Lehrbücher und Produktionscodes. Für eine Eins-mal-eins-Matrix fallen die Faktoren auf das Vorzeichen des Eintrags und dessen Absolutbetrag zusammen, wobei das Vorzeichen von null als plus eins genommen wird. Für eine bereits orthogonale Matrix ist die Streckung die Einheitsmatrix und U gleicht A.

Für eine bereits symmetrische positiv semidefinite Matrix ist der orthogonale Faktor die Einheitsmatrix und P gleicht A. Diese drei Prüfungen sind der schnellste Weg, eine Implementierung zu bestätigen, bevor Sie einem allgemeinen Drei-mal-drei-Deformationsgradienten aus einem Simulationsabzug vertrauen.

Eingabevertrag, Jacobi-SVD-Pfad und Form der Antwort

Die Aliasse a, A und mat werden akzeptiert. Eine optionale ganze Zahl precision zwischen null und fünfzehn (Vorgabe zehn) legt die Dezimalstellen fest, mit denen jedes numerische Feld der Antwort gerundet wird.

Intern baut der Löser die Gram-Matrix G = A-transponiert A, führt eine zyklische Jacobi-Eigenzerlegung von G aus, um G = V Λ V-transponiert zu erhalten, nimmt Singulärwerte als Quadratwurzeln der geklemmten Eigenwerte, bildet P = V diag(σ) V-transponiert, baut linke Singulärvektoren W, indem jeder rechte Vektor durch A abgebildet und durch seinen Singulärwert geteilt wird, vervollständigt den Kern mit modifiziertem Gram-Schmidt gegen die Standardbasis und setzt U = W V-transponiert.

Kombinieren Sie die beiden Faktormatrizen mit Ihrer eigenen Grafik, wenn Sie ein Bild brauchen; dieser Endpunkt liefert nur Zahlen und gibt keine Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits des Feldes formula aus.

Wo die Polarzerlegung weiterhilft

Unterrichtsräume und Lineare-Algebra-Notizbücher nutzen einen Polarzerlegungsrechner, damit Lernende prüfen können, dass U-transponiert U der Einheitsmatrix gleicht und dass P gleich P-transponiert mit nichtnegativen Eigenwerten ist, ohne ein vollständiges Computeralgebrasystem für eine Drei-mal-drei-Hausaufgabenmatrix aufzustellen. Kontinuumsmechanische und Finite-Elemente-Nachbearbeiter gewinnen einen Rotationstensor aus einem Deformationsgradienten F, indem sie den orthogonalen Faktor lesen, und einen Strecktensor aus dem positiven Faktor — genau die rechte Polarzerlegung F = R U, die in jedem Kontinuumskurs gelehrt wird.

Robotik-, Computer-Vision- und Grafikpipelines lösen das orthogonale Procrustes-Problem — die Drehung zu finden, die einer berechneten Drei-mal-drei-Abbildung am nächsten liegt —, indem sie den Polarfaktor jener Abbildung nehmen, was auf einem Rand-Worker günstiger und stabiler ist als eine explizite dichte SVD-Bibliothek zusammenzubauen. Steuerungs- und Identifikationscodes, die eine fast orthogonale Matrix nach einer verrauschten Aktualisierung zurück auf O(n) projizieren müssen, führen dieselbe Projektion in einem Aufruf aus. Eine fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.

Halten Sie n höchstens bei sechzehn, pinnen Sie die gerundeten Faktoren in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare U und P für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Rand-Worker, ohne eine eigene dichte Lineare-Algebra-Bibliothek einzubinden.