Circuncentro de um Triângulo
Encontre o ponto que fica à mesma distância dos três vértices de um triângulo: para (0, 0), (4, 0) e (0, 3), o circuncentro é (2; 1,5), o ponto médio da hipotenusa, como em todo triângulo retângulo. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Ax
- 0
- Ay
- 0
- Bx
- 4
- By
- 0
- Cx
- 0
- Cy
- 3
- X
- 2
- Y
- 1,5
É o ponto equidistante dos três cantos, encontrado onde as mediatrizes dos lados se encontram.
O que é o circuncentro e por que ele importa
Todo triângulo não degenerado possui exatamente uma circunferência que passa pelos seus três vértices, chamada de circunferência circunscrita ou circuncírculo. O centro dessa circunferência é o circuncentro, e é o único ponto do plano que está à mesma distância dos três vértices.
Só essa propriedade já faz com que ele apareça em todo lugar: é a escolha natural para o pivô de uma peça triangular em CAD, a resposta para 'onde coloco uma antena para que ela alcance três cidades de forma igual' e um bloco fundamental da triangulação de Delaunay, em que os triângulos são escolhidos justamente para que nenhum vértice fique dentro da circunferência circunscrita de outro triângulo.
Como as coordenadas são calculadas
O circuncentro é a interseção das mediatrizes dos lados. Algebricamente, um ponto U = (x, y) é o centro exatamente quando 2(B−A)·U = |B|² − |A|² e 2(C−A)·U = |C|² − |A|², em que A, B e C são os três vértices. Os resultados são arredondados para dez casas decimais para que o ruído de ponto flutuante não vaze entre máquinas.
Entrada, saída e o caso limite colinear
Você envia seis campos obrigatórios — ax, ay, bx, by, cx, cy — as coordenadas dos três vértices, e recebe um objeto com dois campos, x e y, as coordenadas do circuncentro. Pontos quase colineares são detectados por um pequeno épsilon no denominador, pois um triângulo cuja área é numericamente zero produziria um centro arbitrariamente distante, sem significado prático.
Casos de uso
Posicionamento equidistante de instalações
Encontre o ponto igualmente distante de três locais — um depósito, uma antena, um ponto de encontro — informando as coordenadas deles como os três vértices.
Pipelines de geometria e CAD
Calcule circuncentros em massa como parte de uma triangulação de Delaunay ou de uma etapa de geração de malha, com uma chamada determinística por triângulo.
Conferir lições de casa e material didático
Verifique exercícios de geometria analítica: cole os três vértices e confirme as coordenadas do circuncentro antes de publicar o gabarito.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página, com o mesmo código e a mesma saída.
O que exatamente ele retorna?
Um objeto com dois campos, x e y: as coordenadas do circuncentro, o centro da circunferência que passa pelos três vértices. O raio não é retornado.
A ordem dos vértices importa?
Não. O circuncentro é uma propriedade do conjunto de três pontos, então qualquer ordenação de A, B e C dá o mesmo resultado.
Onde o circuncentro pode estar?
Dentro do triângulo para triângulos acutângulos, no ponto médio da hipotenusa para triângulos retângulos e fora para triângulos obtusângulos. A fórmula trata todos os casos sem ramificações especiais.
O resultado é determinístico?
Sim. É um cálculo de determinante em forma fechada, arredondado para dez casas decimais, de modo que entradas idênticas sempre produzem saídas idênticas em qualquer máquina.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circumcenter_of_a_triangle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A API de circuncentro de um triângulo recebe as coordenadas dos três vértices de um triângulo e retorna as coordenadas x e y do seu circuncentro: o centro da única circunferência que passa pelos três vértices. Envie seis números e receba dois de volta — entrada colinear não é aceita, sem ambiguidade, e o mesmo código determinístico roda de graça no seu navegador e por trás da API paga.
O que é o circuncentro e por que ele importa
O circuncentro pode cair dentro do triângulo (acutângulo), no ponto médio da hipotenusa (retângulo) ou fora dele (obtusângulo) — a API retorna o ponto correto nos três casos, pois resolve diretamente as equações das mediatrizes em vez de raciocinar sobre a forma do triângulo.
Como as coordenadas são calculadas
Isso é um sistema linear de duas por duas, e este endpoint o resolve em forma fechada com a fórmula do determinante: o denominador é proporcional à área orientada do triângulo, de modo que o sistema tem solução única sempre que o triângulo tem área diferente de zero.
Entrada, saída e o caso limite colinear
Existe exatamente uma forma de a requisição falhar geometricamente: quando os três pontos são colineares, não existe circunferência que passe por eles, então o endpoint rejeita a entrada com um erro invalid_input em vez de retornar um ponto no infinito. A chamada custa US$ 0,002 por requisição, sem sobretaxa por unidade, e o algoritmo idêntico roda de graça nesta página, então você pode verificar um resultado manualmente antes de integrar o endpoint a um pipeline em lote com milhares de triângulos.
Perguntas técnicas
O que acontece se os três pontos forem colineares?
A requisição é rejeitada com um erro invalid_input, pois pontos colineares não têm circunferência circunscrita. Entradas quase colineares também são rejeitadas.