Umkreismittelpunkt eines Dreiecks berechnen
Finden Sie den Punkt, der von den drei Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist: Für (0, 0), (4, 0) und (0, 3) liegt der Umkreismittelpunkt bei (2; 1,5), in der Mitte der Hypotenuse, wie bei jedem rechtwinkligen Dreieck. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Ax
- 0
- Ay
- 0
- Bx
- 4
- By
- 0
- Cx
- 0
- Cy
- 3
- X
- 2
- Y
- 1,5
Es ist der Punkt, der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist und sich dort befindet, wo sich die Mittelsenkrechten der Seiten schneiden.
Was der Umkreismittelpunkt ist und warum er wichtig ist
Jedes nicht entartete Dreieck besitzt genau einen Kreis, der durch seine drei Eckpunkte verläuft, den sogenannten Umkreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Umkreismittelpunkt, und er ist der einzige Punkt in der Ebene, der von allen drei Eckpunkten denselben Abstand hat.
Allein diese Eigenschaft sorgt dafür, dass er überall auftaucht: Er ist die natürliche Wahl für den Drehpunkt eines dreieckigen Bauteils im CAD, die Antwort auf die Frage „Wo platziere ich eine Antenne, damit sie drei Orte gleich gut erreicht?“, und ein Baustein der Delaunay-Triangulierung, bei der Dreiecke gerade so gewählt werden, dass kein Eckpunkt innerhalb des Umkreises eines anderen Dreiecks liegt.
Wie die Koordinaten berechnet werden
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten. Algebraisch ist ein Punkt U = (x, y) genau dann der Mittelpunkt, wenn 2(B−A)·U = |B|² − |A|² und 2(C−A)·U = |C|² − |A|² gilt, wobei A, B und C die drei Eckpunkte sind. Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, und dieser Endpunkt löst es in geschlossener Form mit der Determinantenformel: Der Nenner ist proportional zur vorzeichenbehafteten Fläche des Dreiecks, sodass das System genau dann eine eindeutige Lösung hat, wenn das Dreieck eine von null verschiedene Fläche besitzt.
Die Ergebnisse werden auf zehn Nachkommastellen gerundet, damit sich Gleitkomma-Rauschen nicht zwischen Maschinen einschleicht.
Eingabe, Ausgabe und der kollineare Sonderfall
Sie senden sechs Pflichtfelder — ax, ay, bx, by, cx, cy — die Koordinaten der drei Eckpunkte, und Sie erhalten ein Objekt mit zwei Feldern, x und y, den Koordinaten des Umkreismittelpunkts. Nahezu kollineare Punkte werden durch ein kleines Epsilon im Nenner abgefangen, denn ein Dreieck, dessen Fläche numerisch null ist, würde einen beliebig weit entfernten Mittelpunkt ohne praktische Bedeutung erzeugen.
Anwendungsfälle
Gleich weit entfernte Standortplanung
Finden Sie den Punkt, der von drei Standorten gleich weit entfernt ist — ein Depot, eine Antenne, ein Treffpunkt — indem Sie deren Koordinaten als die drei Eckpunkte übergeben.
Geometrie- und CAD-Pipelines
Berechnen Sie Umkreismittelpunkte massenhaft als Teil einer Delaunay-Triangulierung oder eines Netzgenerierungsschritts, ein deterministischer Aufruf pro Dreieck.
Hausaufgaben und Unterrichtsmaterial prüfen
Verifizieren Sie Übungen zur analytischen Geometrie: Fügen Sie die drei Eckpunkte ein und bestätigen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunkts, bevor Sie den Lösungsschlüssel veröffentlichen.
Häufige Fragen
Was kostet es?
Auf dieser Seite läuft derselbe Code mit derselben Ausgabe außerdem kostenlos in Ihrem Browser.
Was genau wird zurückgegeben?
Ein Objekt mit zwei Feldern, x und y: die Koordinaten des Umkreismittelpunkts, also des Mittelpunkts des Kreises durch die drei Eckpunkte. Der Radius wird nicht zurückgegeben.
Spielt die Reihenfolge der Eckpunkte eine Rolle?
Nein. Der Umkreismittelpunkt ist eine Eigenschaft der Menge der drei Punkte, daher liefert jede Anordnung von A, B und C dasselbe Ergebnis.
Wo kann der Umkreismittelpunkt liegen?
Bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks, bei rechtwinkligen Dreiecken in der Mitte der Hypotenuse und bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb. Die Formel behandelt alle Fälle ohne Sonderzweige.
Ist das Ergebnis deterministisch?
Ja. Es handelt sich um eine geschlossene Determinantenberechnung, gerundet auf zehn Nachkommastellen, sodass identische Eingaben auf jeder Maschine stets identische Ausgaben liefern.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"ax":0,"ay":0,"bx":4,"by":0,"cx":0,"cy":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circumcenter-of-a-triangle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"ax": 0,
"ay": 0,
"bx": 4,
"by": 0,
"cx": 0,
"cy": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circumcenter_of_a_triangle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API für den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks nimmt die Koordinaten der drei Eckpunkte eines Dreiecks entgegen und liefert die x- und y-Koordinaten seines Umkreismittelpunkts: den Mittelpunkt des eindeutigen Kreises, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sie senden sechs Zahlen und erhalten zwei zurück — keine kollinearen Eingaben akzeptiert, keine Mehrdeutigkeit, und derselbe deterministische Code läuft kostenlos in Ihrem Browser und hinter der kostenpflichtigen API.
Was der Umkreismittelpunkt ist und warum er wichtig ist
Der Umkreismittelpunkt kann innerhalb des Dreiecks liegen (spitzwinklig), auf der Mitte der Hypotenuse (rechtwinklig) oder außerhalb davon (stumpfwinklig) — die API liefert in allen drei Fällen den korrekten Punkt, weil sie die Gleichungen der Mittelsenkrechten direkt löst, statt über die Form des Dreiecks zu argumentieren.
Eingabe, Ausgabe und der kollineare Sonderfall
Geometrisch gibt es genau eine Möglichkeit, wie die Anfrage fehlschlagen kann: Wenn die drei Punkte kollinear sind, gibt es keinen Kreis durch sie, und der Endpunkt weist die Eingabe mit einem invalid_input-Fehler zurück, statt einen Punkt im Unendlichen zurückzugeben. Der Aufruf kostet $0.002 pro Anfrage ohne Aufschlag pro Einheit, und derselbe Algorithmus läuft kostenlos auf dieser Seite, sodass Sie ein Ergebnis von Hand überprüfen können, bevor Sie den Endpunkt in eine Batch-Pipeline über Tausende von Dreiecken einbinden.
Technische Fragen
Was passiert, wenn die drei Punkte kollinear sind?
Die Anfrage wird mit einem invalid_input-Fehler abgelehnt, weil kollineare Punkte keinen Umkreis besitzen. Auch nahezu kollineare Eingaben werden abgelehnt.