Umkreisrechner

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau einen Kreis, und dieser Endpunkt findet ihn mit einer geschlossenen Formel — ohne Iteration, ohne Näherung, ohne Raten.

Was ein Umkreis ist und wann Sie ihn brauchen

Zu drei beliebigen Punkten, die nicht auf einer einzigen Geraden liegen, gibt es genau einen Kreis, der durch alle drei verläuft. Er heißt Umkreis, und sein Mittelpunkt, der Umkreismittelpunkt, hat zu jedem der drei Punkte denselben Abstand. Diese Gleichabstand-Eigenschaft macht die Konstruktion weit über die Geometriehausaufgaben hinaus nützlich.

Wenn Sie ein Gelände für ein 3D-Mesh triangulieren, wird die Qualität jedes Dreiecks an seinem Umkreis gemessen: sehr spitzwinklige Dreiecke erzeugen riesige Kreise und schlechtes Shading, deshalb fügen Meshing-Algorithmen genau dort Punkte hinzu oder verschieben sie, wo ein Umkreis zu groß ist. Wenn Sie ein Voronoi-Diagramm aufbauen, ist jeder Knoten dieses Diagramms der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks aus Eingabeorten. Und wenn Sie einfach ein kreisförmiges Objekt — eine Linse, ein Rohr, eine Kurvenbahn — durch drei gemessene Positionen legen müssen, ist der Umkreis die Antwort.

Dieser Endpunkt nimmt die drei Koordinatenpaare entgegen und liefert Mittelpunkt und Radius direkt; Sie müssen die Formel weder selbst herleiten noch fremde, halb erinnerte Algebra debuggen.

Wie Mittelpunkt und Radius berechnet werden

Die Berechnung ist eine geschlossene Determinantenformel, keine iterative Suche. Der Kreismittelpunkt muss auf der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen den ersten beiden Punkten liegen und ebenso auf der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen den letzten beiden; der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der Umkreismittelpunkt. Ausgeschrieben ist dieser Schnittpunkt ein Quotient aus zwei Determinanten, die aus den quadrierten Koordinaten der Punkte gebildet werden, und der Nenner ist das Doppelte der vorzeichenbehafteten Fläche des Dreiecks aus den drei Punkten.

Ist der Mittelpunkt bekannt, ist der Radius schlicht der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen der drei Punkte; alle drei Abstände sind konstruktionsbedingt gleich, was zugleich als numerische Konsistenzprüfung dient. Die Ergebnisse werden auf eine konfigurierbare Zahl von Nachkommastellen gerundet, standardmäßig zehn, sodass die Ausgabe stabil und reproduzierbar ist.

Eingaben, Fehler und praktische Grenzen

Die Eingabe besteht aus sechs Zahlen: x1, y1, x2, y2, x3 und y3, ein Paar pro Punkt. Übliche Aliase wie ax, bx, cx oder p1x werden akzeptiert, und die Werte können als Zahlen oder als einfache numerische Zeichenketten gesendet werden, was den Endpunkt tolerant macht, wenn der Aufrufer die Koordinaten aus einer Textdatei liest. Ein optionales Feld precision, von 0 bis 15, steuert die Nachkommastellen jedes numerischen Felds der Antwort.

Es gibt weder eine Konvergenzrate, um die Sie sich sorgen müssten, noch Zufall: Dieselben sechs Zahlen erzeugen immer denselben Mittelpunkt und denselben Radius.