Raio médio do icosaedro
Um icosaedro de aresta 2 tem raio médio de cerca de 1,618: é o raio da esfera que toca as trinta arestas exatamente no ponto médio. Digite qualquer aresta e receba o valor por a(1+√5)/4. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Aresta
- 2
- Raio médio
- 1,6180339888
- Raio da esfera média
- 1,6180339888
O raio médio de um icosaedro regular é o raio da midesfera: a única esfera que toca todas as arestas do sólido. Estudantes, usuários de CAD e elaboradores de provas costumam precisar desse comprimento ao empacotar, cotar ou comparar as três esferas clássicas (inscrita, média e circunscrita) do sólido regular com vinte faces triangulares.
O que significam o raio médio e a midesfera num icosaedro regular
Um icosaedro regular tem vinte faces triangulares equiláteras, doze vértices e trinta arestas iguais. Classicamente associam-se a esse sólido platônico três esferas concêntricas. A esfera inscrita é tangente às vinte faces e seu inraio é proporcional a três vezes raiz de três mais raiz de quinze sobre doze vezes a aresta.
A circunscrita passa pelos doze vértices com circunraio igual a um quarto da raiz de dez mais duas vezes raiz de cinco vezes a aresta. Entre elas fica a midesfera, também chamada interesfera ou esfera média: no caso regular ela é tangente às trinta arestas nos pontos médios, e seu raio é o raio médio ρ. Para comprimento de aresta a a fórmula fechada é ρ igual a a vezes um mais raiz de cinco, tudo dividido por quatro.
Essa expressão é algebricamente idêntica a a vezes a razão áurea φ sobre dois, porque φ é um mais raiz de cinco sobre dois. O valor independe da orientação: só importa a aresta comum. Quando a é zero o sólido colapsa e o raio médio é zero; quando a é positivo a midesfera cresce linearmente com a.
Um a negativo não interpreta um comprimento, por isso esta capacidade o recusa em vez de tomar um valor absoluto que esconderia um erro de entrada.
Para quem o raio médio do icosaedro é útil
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de raio médio do icosaedro para que aprendizes verifiquem o raio da midesfera com arestas positivas arbitrárias sem misturar fórmulas de inraio e circunraio nem confundir o icosaedro com o dodecaedro dual. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que marque arestas negativas como entrada inválida em vez de refletir em silêncio o valor absoluto. Validação falha não consome saldo.
Comparado a uma ferramenta geral de volume de icosaedro regular, esta landing mira a intenção de busca mais estreita de raio médio e midesfera, de modo que páginas SEO não competem por consultas de volume ou área de superfície e ainda assim entregam o escalar exato que designers e estudantes pedem ao digitar raio médio numa caixa de busca.
Casos de uso
Checagens de sala do raio da midesfera
Permita que alunos enviem um comprimento de aresta e verifiquem o raio médio ρ = a(1+√5)/4 contra exemplos resolvidos do livro sem confundir inraio ou circunraio.
Notebooks de CAD e empacotamento
Calcule o raio da midesfera tangente a arestas para células icosaédricas regulares em scripts que dimensionam cascas de folga ou esferas de empacotamento.
Correção automática em exames e LMS
Avalie itens de raio médio com um oráculo determinístico que rejeita arestas negativas e devolve resposta estável a doze casas para arestas positivas.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre raio médio e raio da midesfera?
São o mesmo comprimento geométrico num icosaedro regular: o raio da esfera tangente às trinta arestas.
O que acontece se a aresta for negativa?
Um comprimento de aresta negativo não é entrada geométrica válida e não é faturado.
Isso também devolve volume ou inraio?
Não. Esta capacidade foca apenas no raio médio. Para volume e área de superfície a partir da aresta, use a calculadora de icosaedro regular (geom.icosahedron).
Onde fica a midesfera em relação à esfera inscrita e à circunscrita?
Entre as duas. A esfera inscrita toca as vinte faces, a circunscrita passa pelos 12 vértices e a midesfera toca as trinta arestas no ponto médio, então o raio dela fica entre o inraio e o circunraio.
O que acontece se a aresta for zero?
O sólido vira um ponto e o raio médio é simplesmente zero. Só a aresta negativa é recusada, porque um comprimento não pode ser negativo e usar o valor absoluto esconderia um erro de digitação.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/icosahedron-midradius \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"edge":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/icosahedron-midradius", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/icosahedron-midradius",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"edge": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/icosahedron-midradius", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"edge":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"edge":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/icosahedron-midradius", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"edge": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.icosahedron_midradius",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta calculadora de raio médio do icosaedro aceita um comprimento de aresta, aplica a fórmula fechada ρ igual a a vezes um mais raiz de cinco sobre quatro, e devolve midradius e midsphere_radius como o mesmo número determinístico. Arestas negativas são rejeitadas com invalid_input para que a automação nunca trate um erro de sinal como um sólido físico. O caminho gratuito do navegador e a API paga compartilham o mesmo módulo puro, de modo que checagens de sala e pipelines de produção sempre concordam no arredondamento a doze casas decimais. A US$ 0,002 por chamada API bem-sucedida não há gasto de modelo nem rede de saída: apenas aritmética analítica sobre um escalar finito.
O que significam o raio médio e a midesfera num icosaedro regular
Devolver midradius e midsphere_radius como o mesmo par de campos alinha a linguagem de livro e a de CAD ou empacotamento sem forçar o cliente a renomear chaves.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Exemplo: edge igual a dois produz raio médio igual a um mais raiz de cinco sobre dois, aproximadamente um ponto seis um oito, que também é a razão áurea φ. Edge igual a um produz um mais raiz de cinco sobre quatro, aproximadamente zero ponto oito zero nove. Mantenha as requisições pequenas, fixe o raio médio arredondado em testes automatizados e obtenha raios de empacotamento reproduzíveis para lições, plugins LMS e workers de borda sem montar uma biblioteca completa de geometria sólida nem um sistema de álgebra computacional. Envie um corpo JSON com um campo obrigatório edge: um número finito ou string numérica para a aresta comum do icosaedro regular. Os aliases a, side, edge_length e length são aceitos e mapeados para o mesmo parâmetro, de modo que células de notebook e widgets de formulário possam manter a nomenclatura local. Valores ausentes, vazios ou não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Em sucesso o corpo ecoa edge arredondado a doze casas decimais, midradius, midsphere_radius idêntico a midradius, method com valor regular_icosahedron_midradius e a string de fórmula ρ igual a a vezes um mais raiz de cinco sobre quatro para exibir junto à resposta. Combine a resposta com o seu próprio renderizador se precisar de um esboço tridimensional da midesfera dentro do icosaedro; este endpoint devolve apenas escalares e não emite malhas, conversões de unidade, volume nem área de superfície.
Onde uma API de raio médio de icosaedro rende valor
Notebooks de CAD e fabricação digital frequentemente dimensionam esferas tangentes a arestas ou cascas de folga em torno de células icosaédricas, modelos de capsídeo viral, armações geodésicas ou duais de fullerenos; chamar uma API parse mínima evita puxar uma pilha pesada de geometria por uma multiplicação por uma constante ligada à razão áurea.
Perguntas técnicas
Como se calcula o raio médio de um icosaedro regular?
Envie um comprimento de aresta finito não negativo como edge (ou a, side, edge_length, length). A API devolve midradius = (edge · (1 + √5)) / 4 e o mesmo valor como midsphere_radius.
Quanto custa a calculadora de raio médio do icosaedro?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é faturada.