تحليل فرق مربعين: كتابة n الفردي على صورة a² − b²

تستقبل حاسبة التحليل بفرق مربعين عدداً مركباً فردياً موجباً، ثم تجد عددين صحيحين a وb بحيث يساوي مربع a ناقص مربع b العدد الأصلي. وتعيد كذلك العاملين غير البديهيين المقابلين، لأن a² − b² يساوي دائماً (a − b)(a + b). يبدأ البحث بالقرب من الجذر التربيعي، ولذلك يكون العاملان الناتجان أقرب ما يمكن أحدهما إلى الآخر وتكون b أصغر ما يمكن. تؤدي الأعداد الزوجية والأعداد الأولية والعدد 1 إلى خطأ إدخال واضح بدلاً من إعادة التحليل البديهي 1 × n الذي لا يقدم فائدة عملية.

حوّل عدداً فردياً إلى فرق مربعين

تربط المتطابقة الجبرية a² − b² = (a − b)(a + b) بين عملية الطرح والتحليل إلى عوامل صحيحة. إذا كان n عدداً مركباً فردياً، فإن كل زوج من عوامله غير البديهية يتكون من عددين فرديين. وإذا سمّينا العاملين d وq، مع d ≤ q، فإن a = (q + d) / 2 وb = (q − d) / 2.

تكون النتيجتان عددين صحيحين لأن مجموع عددين فرديين والفرق بينهما عددان زوجيان. تبحث الحاسبة أولاً عن قاسم قريب من الجذر التربيعي للعدد n، ثم تستخرج العامل المقابل بقسمة دقيقة، وتطبق الصيغتين. على سبيل المثال، للعدد 5959 زوج العوامل 59 × 101.

نصف مجموعهما 80 ونصف الفرق بينهما 21، ومن ثم 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959. تتضمن الاستجابة n وa وb والعاملين ومتطابقة سهلة القراءة. لذلك تصلح النتيجة للحساب ولإثبات موجز في الوقت نفسه، ويمكنكم التحقق منها بضرب العاملين أو بطرح المربعين.

افهم النتائج غير البديهية ورسائل الخطأ

يمكن تمثيل كل عدد صحيح موجب فردي رسمياً بفرق مربعين إذا سُمح بزوج العوامل 1 × n؛ فعندئذ تساوي a المقدار (n + 1) / 2 وتساوي b المقدار (n − 1) / 2. غير أن هذا التمثيل لا يكشف عاملاً مفيداً، ولذلك تستبعده هذه الإمكانية عمداً. تتطلب النتيجة الناجحة عاملين أكبر من واحد.

وبناءً على ذلك، يعيد العدد الأولي الفردي والعدد 1 خطأ إدخال يوضح عدم وجود انقسام غير بديهي. وترفض الأعداد الزوجية أيضاً وفق عقد المنتج، مع أن بعض مضاعفات أربعة يمكن كتابتها كفرق مربعين؛ فهذه الواجهة مخصصة لتحليل الأعداد الفردية. يظل المربع الكامل الفردي صالحاً.

يجب أن يكون الإدخال عدداً صحيحاً موجباً ومحدوداً ضمن الحد المنشور. أما الكسور العشرية والقيم السالبة والنصوص غير الصحيحة والقيم التي تتجاوز الحد فتُرفض من دون تقريب أو اقتطاع أو تخمين.

لماذا يعطي البحث نتيجة حتمية

تبدأ الخوارزمية بأكبر عدد صحيح فردي لا يتجاوز √n، ثم تختبر المرشحين الفرديين بترتيب تنازلي. أول قاسم دقيق تجده هو أكبر عامل لا يتجاوز الجذر التربيعي، ويكون العامل المقابل أصغر عامل لا يقل عنه. وهكذا تنتج أقرب زوج غير بديهي من العوامل، وبالتالي أصغر قيمة غير سالبة للمتغير b.

للحلقة حد أدنى ثابت، كما أن الحد الأقصى المعلن للإدخال يقيّد مقدار العمل، ولذلك لا يمكن أن تستمر بلا نهاية. تستخدم العملية حساباً صحيحاً دقيقاً ضمن النطاق الآمن المدعوم. ولا تتصل بخدمة شبكية، ولا ترجع إلى جدول أعداد أولية، ولا تقرأ الساعة، ولا تستخدم اختياراً عشوائياً، ولا تحتفظ بحالة بين الطلبات.

تفيد هذه القابلية للتوقع في المواد التعليمية والمصححات الآلية واختبارات الانحدار ومسارات نظرية الأعداد الصغيرة. تعتمد الطريقة القسمة التجريبية وليست نظاماً عاماً لتحليل الأعداد الصحيحة الضخمة؛ فالنطاق المحدود يجعل التنفيذ عملياً في المتصفح وعند الحافة، بينما تمنع الأخطاء الصريحة عرض الزوج المتاح دائماً 1 × n على أنه تحليل ذو معنى لعدد أولي.