Fatoração por diferença de quadrados: a² − b² para n ímpar
5959 é igual a 80² − 21², e essa subtração revela os fatores 59 e 101. Digite um número composto ímpar e receba os dois quadrados, o par de fatores mais próximo e uma igualdade que você confere à mão. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5.959
- A
- 80
- B
- 21
- Fator menor
- 59
- Fator maior
- 101
A calculadora de fatoração por diferença de quadrados recebe um inteiro composto ímpar positivo e encontra inteiros a e b para os quais a ao quadrado menos b ao quadrado é igual ao número original. Ela também retorna os fatores não triviais correspondentes, pois a² − b² sempre equivale a (a − b)(a + b). A busca começa perto da raiz quadrada, portanto os fatores informados ficam tão próximos quanto possível e b é mínimo. Números pares, primos e 1 geram um erro claro, em vez da fatoração trivial 1 × n.
Transforme um número ímpar em dois quadrados
A identidade algébrica a² − b² = (a − b)(a + b) liga uma subtração à fatoração de inteiros. Para um n composto ímpar, todo par de fatores não triviais contém dois números ímpares. Chamando esses fatores de d e q, com d ≤ q, temos a = (q + d) / 2 e b = (q − d) / 2.
Os dois resultados são inteiros, porque a soma e a diferença de dois ímpares são pares. A calculadora encontra primeiro um divisor próximo da raiz quadrada de n, obtém o divisor complementar por divisão exata e aplica as duas fórmulas. Por exemplo, 5959 possui o par 59 × 101.
A semissoma é 80 e a semidiferença é 21, resultando em 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959. A resposta apresenta n, a, b, ambos os fatores e uma identidade legível. Assim, o resultado funciona tanto como cálculo quanto como uma prova curta, que você pode conferir multiplicando os fatores ou subtraindo os quadrados.
Entenda resultados não triviais e erros
Todo inteiro positivo ímpar possui uma representação formal como diferença de quadrados quando o par 1 × n é permitido: a seria (n + 1) / 2 e b seria (n − 1) / 2. Essa forma não revela um fator útil, por isso esta capacidade a exclui deliberadamente. Uma resposta bem-sucedida exige que os dois fatores sejam maiores que um.
Consequentemente, um primo ímpar e o número 1 retornam um erro de entrada explicando que não existe uma decomposição não trivial. Um quadrado perfeito ímpar continua válido. As entradas devem ser inteiros positivos finitos dentro do limite publicado.
Frações decimais, valores negativos, textos inválidos e números acima do limite são rejeitados, sem arredondamento, truncamento ou aproximação.
Por que a busca é determinística
A implementação começa no maior inteiro ímpar que não ultrapassa √n e testa candidatos ímpares em ordem decrescente. O primeiro divisor exato encontrado é o maior fator que não excede a raiz quadrada; seu fator complementar é o menor que não fica abaixo dela. Isso produz o par não trivial mais próximo e, portanto, o menor valor não negativo de b.
O laço possui um limite inferior fixo e a entrada máxima declarada restringe o trabalho, impedindo uma execução infinita. Toda a aritmética é exata no intervalo seguro aceito. O processo não acessa serviços de rede ou tabelas de primos, não consulta o relógio, não faz escolhas aleatórias e não mantém estado entre solicitações.
O método é divisão por tentativa, não um sistema geral para fatorar inteiros enormes: o intervalo limitado mantém a execução prática no navegador e na borda, enquanto os erros explícitos impedem que o par sempre disponível 1 × n de um primo pareça uma fatoração relevante.
Casos de uso
Confira um exercício de álgebra
Verifique uma representação proposta n = a² − b² e veja o par de fatores decorrente da identidade.
Ensine a identidade de fatoração
Mostre como dois fatores ímpares se tornam a semissoma e a semidiferença usadas em a e b.
Encontre um par equilibrado
Retorne os fatores não triviais mais próximos de √n, que também minimizam o valor não negativo de b.
Perguntas frequentes
Por que inteiros pares são rejeitados?
Esta capacidade aceita apenas inteiros ímpares. Embora certos pares sejam diferenças de quadrados, eles não pertencem a este fluxo de fatoração.
Por que um primo retorna erro?
Um primo só possui o par de fatores positivos 1 × n.
Qual fatoração é retornada quando há várias?
O algoritmo retorna o par de fatores mais próximo de √n, que fornece o menor b não negativo.
Como escrevo 5959 como diferença de dois quadrados?
Parta dos fatores 59 e 101. A metade da soma deles é 80 e a metade da diferença é 21, então 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959.
Funciona com um quadrado perfeito ímpar como 81?
Sim. O par de fatores mais próximo de 81 é 9 e 9, o que dá um primeiro quadrado de 9² e um segundo de 0², porque 9² − 0² = 81.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5959}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5959
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5959
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5959}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5959}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5959
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.difference_of_squares_factor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Entenda resultados não triviais e erros
Os inteiros pares também são rejeitados pelo contrato, embora alguns múltiplos de quatro possam ser escritos como diferenças de quadrados; este endpoint foi criado especificamente para a fatoração de inteiros ímpares. Para n = 81, o par mais próximo é 9 × 9, produzindo a = 9, b = 0 e 9² − 0² = 81.
Por que a busca é determinística
Entradas iguais sempre produzem o mesmo JSON.
Perguntas técnicas
Quanto custa?
A API custa US$ 0,002 por solicitação, e a versão para navegador pode ser executada localmente nesta página.
b pode ser zero?
Sim. Quando n é um quadrado perfeito composto ímpar, fatores não triviais iguais produzem b = 0.