Representação como soma de três quadrados

Esta calculadora de representação como soma de três quadrados recebe um inteiro não negativo e encontra inteiros explícitos a, b e c tais que n = a² + b² + c². Ela também aplica o teorema dos três quadrados de Legendre antes da busca; assim, um inteiro na forma proibida 4^a(8b+7) gera um erro claro em vez de um cálculo inútil. O resultado inclui os três termos, uma equação legível e um indicador de verificação, sendo útil para estudo, testes de software e fluxos exatos de teoria dos números.

Transforme um teorema de existência em uma representação explícita

O teorema dos três quadrados de Legendre fornece um teste completo para determinar se um inteiro não negativo pode ser escrito como soma de três quadrados inteiros. Saber que a representação existe, porém, normalmente é apenas o começo. Exercícios, demonstrações, dados de teste e pesquisas computacionais costumam exigir os valores efetivos.

Informe n e a calculadora retornará uma tripla determinística em ordem crescente de busca, acompanhada de uma equação que você pode conferir diretamente. Zero é aceito, e termos iguais a zero são permitidos porque uma representação pode usar menos de três quadrados não nulos. Por exemplo, um quadrado perfeito pode ser retornado com dois termos zero.

O array squares contém as bases, não os valores já elevados ao quadrado; portanto, [1, 2, 3] significa 1² + 2² + 3². A equação elimina ambiguidades, enquanto o campo de verificação confirma que a aritmética inteira foi conferida antes da resposta. Chamadas repetidas com a mesma entrada devolvem a mesma representação, o que favorece documentação reproduzível e testes automatizados.

Entenda a forma proibida 4^a(8b+7)

Os únicos inteiros não negativos que não podem ser expressos como três quadrados são aqueles escritos na forma 4^a(8b+7), em que a e b são inteiros não negativos. A calculadora verifica essa condição removendo repetidamente os fatores de quatro e, em seguida, examinando o resto módulo oito. Se o valor reduzido for congruente a sete, não existe representação, e a solicitação retorna um erro de entrada inválida que identifica a forma proibida.

Isso é uma impossibilidade matemática, não um tempo limite nem uma resposta inconclusiva. Como exemplos rápidos, 7 é diretamente proibido, 28 é proibido porque equivale a 4 × 7, e 112 continua proibido depois da remoção de dois fatores de quatro. Em contraste, um número que simplesmente contém um fator de quatro não é excluído automaticamente; sua parte reduzida também precisa ser sete módulo oito.

Aplicar primeiro o teorema permite diferenciar com precisão uma entrada malformada, um tamanho não suportado e um inteiro válido comprovadamente sem solução. Também evita percorrer candidatos quando a matemática já resolveu a questão.

Use resultados determinísticos com segurança em programas

Strings são úteis quando um formulário fornece texto, mas sinais, espaços, casas decimais, separadores e notação científica são rejeitados para manter o significado exato. Para valores admissíveis, o algoritmo percorre o primeiro quadrado em ordem crescente e resolve o problema restante de dois quadrados com ponteiros inteiros opostos. Não usa rede, escolhas aleatórias, relógios nem estado compartilhado mutável.

Dessa forma, tanto a tripla bem-sucedida quanto cada decisão de validação permanecem estáveis em execuções repetidas. Em uma aplicação, leia as três entradas de squares e calcule a² + b² + c² separadamente se desejar uma asserção local; a equação serve para exibição. Trate uma resposta de forma proibida como um resultado do domínio comunicado pelo erro padrão de entrada inválida, em vez de tentar novamente.