Differenz von Quadraten: ungerades n als a² − b² faktorisieren

Der Rechner zur Faktorisierung als Differenz von Quadraten nimmt eine positive, ungerade zusammengesetzte Zahl entgegen und bestimmt ganze Zahlen a und b, sodass a zum Quadrat minus b zum Quadrat der Ausgangszahl entspricht. Zusätzlich gibt er die zugehörigen echten Faktoren aus, denn a² − b² ist stets gleich (a − b)(a + b). Die Suche beginnt nahe der Quadratwurzel. Dadurch liegen die ausgegebenen Faktoren möglichst dicht beieinander und b ist minimal. Gerade Zahlen, Primzahlen und 1 führen zu einer verständlichen Fehlermeldung statt zur trivialen Zerlegung 1 × n.

Stellen Sie eine ungerade Zahl durch zwei Quadrate dar

Die algebraische Identität a² − b² = (a − b)(a + b) verbindet eine Subtraktion mit der ganzzahligen Faktorisierung. Bei einer ungeraden zusammengesetzten Zahl n besteht jedes nicht triviale Faktorenpaar aus zwei ungeraden Zahlen. Werden diese Faktoren d und q genannt, wobei d ≤ q gilt, so ist a = (q + d) / 2 und b = (q − d) / 2.

Beide Ergebnisse sind ganzzahlig, weil Summe und Differenz zweier ungerader Zahlen gerade sind. Der Rechner findet zunächst einen Teiler nahe der Quadratwurzel von n, ermittelt den Gegenfaktor durch exakte Division und wendet anschließend beide Formeln an. Beispielsweise besitzt 5959 das Faktorenpaar 59 × 101.

Die halbe Summe beträgt 80 und die halbe Differenz 21, somit gilt 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959. Die Antwort enthält n, a, b, beide Faktoren und eine lesbare Identität. Damit dient das Ergebnis sowohl als Berechnung als auch als kurzer Nachweis, den Sie durch Multiplikation der Faktoren oder Subtraktion der Quadrate prüfen können.

Verstehen Sie echte Ergebnisse und Fehlermeldungen

Jede positive ungerade ganze Zahl besitzt formal eine Darstellung als Differenz von Quadraten, wenn das Paar 1 × n zugelassen wird: Dann wäre a = (n + 1) / 2 und b = (n − 1) / 2. Diese Darstellung deckt keinen nützlichen Faktor auf und wird daher bewusst ausgeschlossen. Eine erfolgreiche Antwort setzt voraus, dass beide Faktoren größer als eins sind.

Deshalb liefern eine ungerade Primzahl und die Zahl 1 einen Eingabefehler mit dem Hinweis, dass keine nicht triviale Zerlegung existiert. Gerade ganze Zahlen werden ebenfalls vertragsgemäß abgelehnt, obwohl manche durch vier teilbaren Werte Differenzen von Quadraten sind; dieser Endpunkt dient speziell der Faktorisierung ungerader Zahlen. Ein ungerades vollständiges Quadrat ist gültig.

Eingaben müssen positive endliche ganze Zahlen innerhalb der veröffentlichten Grenze sein. Dezimalbrüche, negative Werte, fehlerhafte Zeichenfolgen und zu große Zahlen werden abgelehnt, nicht gerundet, abgeschnitten oder angenähert.

Warum die Suche deterministisch arbeitet

Die Implementierung beginnt bei der größten ungeraden ganzen Zahl, die höchstens √n beträgt, und prüft ungerade Kandidaten absteigend. Der erste exakte Teiler ist der größte Faktor, der die Quadratwurzel nicht überschreitet; sein Gegenfaktor ist der kleinste Faktor, der nicht darunter liegt. So entstehen das engste nicht triviale Faktorenpaar und der kleinste nicht negative Wert von b.

Die Schleife besitzt eine feste Untergrenze, und die deklarierte Maximaleingabe begrenzt den Aufwand. Sie kann daher nicht unbegrenzt laufen. Im unterstützten sicheren Zahlenbereich bleibt die Arithmetik exakt.

Das Verfahren fragt weder Netzwerkdienste noch Primzahltabellen ab, liest keine Uhrzeit, trifft keine Zufallsentscheidungen und speichert keinen Zustand zwischen Anfragen. Verwendet wird Probedivision, kein allgemeines System für riesige Ganzzahlen: Der begrenzte Bereich ermöglicht eine praktische Ausführung im Browser und am Netzwerkrand, während eindeutige Fehler verhindern, dass das stets verfügbare Paar 1 × n als sinnvolle Primzahlfaktorisierung erscheint.