Factorización por diferencia de cuadrados: a² − b² para n impar
5959 es igual a 80² − 21², y esa resta deja ver sus factores 59 y 101. Escriba un número compuesto impar y obtenga los dos cuadrados, el par de factores más cercano y una igualdad que puede comprobar a mano. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- N
- 5 959
- A
- 80
- B
- 21
- Factor menor
- 59
- Factor mayor
- 101
La calculadora de factorización por diferencia de cuadrados toma un entero compuesto impar positivo y encuentra enteros a y b tales que a al cuadrado menos b al cuadrado coincide con el número original. También devuelve los factores no triviales correspondientes, pues a² − b² siempre equivale a (a − b)(a + b). La búsqueda comienza cerca de la raíz cuadrada, de modo que los factores obtenidos son los más próximos posibles y b es mínimo. Los números pares, los primos y 1 generan un error claro en lugar de la factorización trivial 1 × n.
Convierta un número impar en dos cuadrados
La identidad algebraica a² − b² = (a − b)(a + b) relaciona una resta con la factorización entera. Para un n compuesto impar, cada par de factores no triviales consta de dos números impares. Si se llaman d y q, con d ≤ q, entonces a = (q + d) / 2 y b = (q − d) / 2.
Ambos resultados son enteros porque la suma y la diferencia de dos impares son pares. La calculadora localiza primero un divisor próximo a la raíz cuadrada de n, obtiene su divisor asociado mediante una división exacta y aplica las dos fórmulas. Por ejemplo, 5959 tiene el par 59 × 101.
Su semisuma es 80 y su semidiferencia es 21; por tanto, 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959. La respuesta incluye n, a, b, ambos factores y una identidad legible. Así, el resultado sirve como cálculo y como demostración breve, verificable al multiplicar los factores o restar los cuadrados.
Comprenda los resultados no triviales y los errores
Todo entero positivo impar admite una representación formal como diferencia de cuadrados si se permite el par 1 × n: a sería (n + 1) / 2 y b sería (n − 1) / 2. Esa forma no descubre un factor útil, por lo que esta capacidad la excluye expresamente. Para obtener una respuesta correcta, ambos factores deben ser mayores que uno.
En consecuencia, un primo impar y el número 1 devuelven un error de entrada que indica que no existe una descomposición no trivial. Los enteros pares también quedan fuera del contrato, aunque algunos múltiplos de cuatro puedan escribirse como diferencia de cuadrados: este servicio está diseñado específicamente para factorizar enteros impares. Un cuadrado perfecto impar sí es válido.
La entrada debe ser un entero positivo finito dentro del límite publicado. No se redondean ni aproximan decimales, negativos, textos mal formados ni valores excesivos: se rechazan.
Por qué la búsqueda es determinista
La implementación comienza en el mayor entero impar que no supera √n y prueba candidatos impares en orden descendente. El primer divisor exacto hallado es el mayor factor que no excede la raíz cuadrada; su pareja es el menor factor que no queda por debajo de ella. Así se obtiene el par no trivial más cercano y, en consecuencia, el menor valor no negativo de b.
El bucle tiene un extremo inferior fijo y el máximo declarado limita el trabajo, por lo que no puede continuar indefinidamente. Toda la aritmética es exacta dentro del intervalo seguro admitido. El proceso no consulta servicios de red ni tablas de primos, tampoco lee la hora, usa elecciones aleatorias o conserva estado entre solicitudes.
Se emplea división por tentativa, no un sistema general para enteros enormes: el intervalo acotado permite una ejecución práctica en el navegador y en el borde, mientras que los errores explícitos impiden presentar el par 1 × n de un primo como una factorización significativa.
Qué puede hacer con ella
Compruebe un ejercicio de álgebra
Verifique una representación propuesta n = a² − b² y consulte el par de factores que implica la identidad.
Enseñe la identidad de factorización
Muestre cómo dos factores impares se convierten en la semisuma y la semidiferencia usadas para a y b.
Encuentre un par equilibrado
Obtenga los factores no triviales más cercanos a √n, que también minimizan el valor no negativo de b.
Preguntas frecuentes
¿Por qué se rechazan los enteros pares?
Esta capacidad admite únicamente enteros impares. Aunque ciertos pares son diferencias de cuadrados, quedan fuera de este flujo de factorización.
¿Por qué un primo genera un error?
Un primo solo tiene el par de factores positivos 1 × n. El servicio exige una descomposición no trivial con ambos factores mayores que uno.
¿Qué factorización se devuelve si hay varias?
El algoritmo devuelve el par de factores más cercano a √n, que proporciona el menor b no negativo.
¿Cómo escribo 5959 como diferencia de dos cuadrados?
Parta de sus factores 59 y 101. La mitad de su suma es 80 y la mitad de su diferencia es 21, así que 80² − 21² = 6400 − 441 = 5959.
¿Funciona con un cuadrado perfecto impar como 81?
Sí. El par de factores más cercano de 81 es 9 y 9, lo que da un primer cuadrado de 9² y un segundo de 0², porque 9² − 0² = 81.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5959}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5959
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5959
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5959}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5959}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/difference-of-squares-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 5959
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.difference_of_squares_factor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Comprenda los resultados no triviales y los errores
Para n = 81, el par más próximo es 9 × 9, lo que produce a = 9, b = 0 y 9² − 0² = 81.
Por qué la búsqueda es determinista
Una misma entrada produce siempre el mismo JSON.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta?
La API cuesta $0.002 por solicitud y la versión del navegador puede ejecutarse localmente en esta página.
¿Puede b ser cero?
Sí. Cuando n es un cuadrado perfecto compuesto impar, los factores no triviales iguales producen b = 0.