اختبار أولية بوكليغتون
يثبت أن العدد أولي انطلاقًا من تحليل جزئي لـ n − 1: للعدد 31 تعطي الأعداد الأولية 2 و3 و5 للعدد 30 جزءًا محللًا قدره 30، وبما أن 900 لا يقل عن 31 يشهد شاهد لكل عامل بأوليته. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 31
- العوامل
- 2, 3, 5
- N
- 31
- N ناقص 1
- 30
- F
- 30
- R
- 1
يحوّل معيار بوكليغتون–ليمر التحليل الجزئي للعدد n ناقص واحد إلى شهادة أولية صارمة. بخلاف القسمة التجريبية وحدها أو تطابق فيرما واحد، يكفي تحليل ما يكفي من n−1 بحيث يحقق الجزء المحلَّل F شرط مربع F أكبر من أو يساوي n، مع شاهد توافقي قصير لكل عدد أولي يقسم F. يستخدم الطلبة ومعلمو التعمية ودفاتر نظرية الأعداد اختبار أولية بوكليغتون هذا لإثبات أولية أعداد صغيرة ومتوسطة دون غربلة حتى الجذر التربيعي لـ n. تقدّمون المرشح n والأعداد الأولية التي جداءها F؛ يتحقق المحرك من حد الحجم، ويبحث عن أسس a أو يتحقق منها، ويعيد شهادة منظمة أو خطأ واضحاً عندما يكون الجزء المحلَّل صغيراً جداً.
ما الذي يقرره معيار بوكليغتون–ليمر
اكتبوا n ناقص واحد جداء F في R، حيث F محلَّل تماماً إلى أعداد أولية تعرفونها مسبقاً وR هو العامل المتمم. تقول نظرية بوكليغتون الكلاسيكية: إذا كان F كبيراً بما يكفي ليكون مربع F على الأقل n، ولكل عدد أولي q يقسم F يوجد أساس صحيح a بحيث إن a مرفوعاً إلى n ناقص واحد يطابق واحداً بمقاس n، والقاسم المشترك الأكبر لـ a مرفوعاً إلى (n ناقص واحد) مقسوماً على q ناقص واحد مع n يساوي واحداً، فإن n أولي.
حدسياً، تفرض هاتان الشرطتان التوافقيتان أن يكون الرتبة الضربية لـ a بمقاس n مضاعفاً لـ q لكل من تلك الأعداد الأولية، فتكون الرتبة مضاعفاً لـ F؛ ومع كون F أكبر من جذر n لا يستطيع n مركب إخفاء عاملاً حقيقياً بالطريقة المعتادة. هذا أقوى من مبرهنة فيرما الصغرى وحدها التي تفحص باقي قوة واحداً وقد تخدعها أشباه الأولية.
وهو أيضاً أوفر من التحليل الكامل لـ n أو القسمة حتى sqrt(n) عندما تعرفون سلفاً كثيراً من عوامل n−1—مثلاً إذا كان n عدد بروث أو بناء أولي آمن أو عدداً من الواجبات مصمماً ليسهل تحليل n−1.
براهين الصف وعروض التعمية والأتمتة
تستخدم مقررات نظرية الأعداد اختبار أولية بوكليغتون ليثبت المتعلمون أولية أعداد مثل واحد وثلاثين وواحد وستين وسبعة وتسعين بعد تحليل n−1 يدوياً بدل الاعتماد فقط على زر is-prime غامض. أدوات التحضير للمسابقات تولّد مرشحين بـ n−1 أملس وتغذي العوامل المعروفة إلى هذه النقطة الطرفية وتخزن الشهود المعادة ككائن برهان قصير بجانب مفتاح الإجابات. مؤلفو المكتبات الذين يكتبون اختبارات خصائص يؤكدون أن certified يساوي true يعني اتفاق روتين الأولية لديهم على نفس n، وأن F غير الكافي يثير دائماً خطأ الجزء الصغير الموثق.
حافظوا على n وfactors ضمن حدود الأرقام والطول، وفضّلوا الأعداد الصحيحة كنص خارج نطاق أعداد JavaScript الآمنة، وعاملوا certified كالمنطقي المعتمد لعبارة «أثبت بوكليغتون الأولية». عندما لا تملكون سوى شريحة ضئيلة من n−1 محلَّلة فحللوا المزيد أولاً أو استخدموا فاحص أولية عاماً؛ تبقى هذه الصفحة مخصصة لنية البحث عن بوكليغتون–ليمر حتى يظل SEO والأمثلة وشكل الاستجابة مركّزين.
حالات الاستخدام
شهادات أولية للواجبات والامتحانات
يحلّل الطلبة n−1 ويرسلون n وأوليات F ويتلقون شهوداً تثبت أن n أولي وفق بوكليغتون–ليمر عندما يكون F كبيراً بما يكفي.
مصححات المسابقات وأنظمة LMS
صحّحوا بنود نظرية الأعداد بأوراكل شهادة حتمي يرفض F الصغير جداً وقوائم عوامل غير أولية بدل إيجابيات كاذبة صامتة.
الأسئلة الشائعة
ما اختبار أولية بوكليغتون؟
معيار يثبت أن n أولي انطلاقاً من تحليل جزئي n−1=F·R مع F محلَّل تماماً وF²≥n وشهود توافقية a لكل أولي q يقسم F.
متى يكون الجزء المحلَّل صغيراً جداً؟
عندما F² < n (ويكافئ F ≤ R في التقسيم n−1=F·R).
ما المدخلات التي يجب إرسالها؟
إلزامي n (≥3) وfactors (مصفوفة أوليات بتكرار جداءها F).
هل certified يساوي false يعني أن n مركب؟
لا. يعني أنه لم يُعثر على شاهد صالح مع F وbases المعطيين. قد يظل n أولياً؛ جرّبوا أسساً أكثر أو جزءاً محلَّلاً أكبر أو طريقة أولية أخرى.
هل يمكنني اختيار قواعد الشهود بنفسي؟
نعم. أدخل أعدادًا صحيحة لا تقل عن 2، إما قاعدة واحدة لكل العوامل الأولية أو قاعدة لكل عامل أولي مختلف بالترتيب. وإن لم تحدد شيئًا يبحث الاختبار بنفسه في القواعد من 2 إلى 200.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pocklington-test \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":31,"factors":[2,3,5]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pocklington-test", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 31,
"factors": [
2,
3,
5
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pocklington-test",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 31,
"factors": [
2,
3,
5
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pocklington-test", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":31,"factors":[2,3,5]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":31,"factors":[2,3,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pocklington-test", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 31,
"factors": [
2,
3,
5
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pocklington_test",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المنطق نفسه النقي بـ BigInt يغذي الأداة المجانية في المتصفح ومسار API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح.
ما الذي يقرره معيار بوكليغتون–ليمر
تنفّذ هذه القدرة قائمة التحقق ذاتها: جداء factors يصبح F، وR هو (n−1)/F، ويُفرض حاجز F² ≥ n، ويحصل كل أولي مميز q من F على شاهد a (بحث تلقائي من اثنين صعوداً أو من قائمة bases الاختيارية). عندما ينجح كل أولي تضبط الاستجابة certified وis_prime إلى true وتسرد الشهود لتعيدوا الحساب يدوياً أو في نظام آخر.
عقد الإدخال وأخطاء الحجم وقراءة الشهادة
مثال: n يساوي واحداً وثلاثين وfactors يساوي اثنين وثلاثة وخمسة لأن ثلاثين يساوي اثنين في ثلاثة في خمسة؛ إذن F ثلاثون وR واحد ومربع F يتجاوز واحداً وثلاثين بكثير. الحقل الاختياري bases مصفوفة أعداد صحيحة اثنين على الأقل—شاهد مشترك لكل أولي أو شاهد لكل أولي مميز بالترتيب المفروز—أو احذفوه فيبحث المحرك عن a من اثنين إلى مئتين. إذا لم يقسم جداء F العدد n−1 تفشل المهمة لأن التحليل الجزئي غير متسق. إذا كان مربع F أصغر تماماً من n تفشل المهمة برسالة أن الجزء المحلَّل صغير جداً—ذلك الخطأ الصارم المقصود عندما لم تحللوا ما يكفي من n−1 لتطبيق بوكليغتون–ليمر. أرسلوا بـ POST جسماً JSON يحوي العدد الصحيح الإلزامي n (ثلاثة على الأقل) والمصفوفة الإلزامية factors: العوامل الأولية، مع التكرار، للجزء المحلَّل F من n−1. يجب أن يكون كل عامل مدرجاً أولياً؛ المدخلات المركبة تفشل بـ invalid_input حتى لا تتظاهر قائمة مزورة بأنها شهادة. الاستجابات الناجحة تعيد n وn_minus_1 وF وR وF_squared وfloor_sqrt_n والأوليات المميزة ومجموعة العوامل وwitnesses مع a لكل أولي وباقي القوة وفحص gcd وأعلام ok. المنطقي certified يكون true فقط عندما يملك كل أولي شاهداً صالحاً؛ وis_prime يطابق certified هنا لأن مروراً كاملاً لبوكليغتون إثبات أولية، بينما فشل البحث عن شاهد لا يثبت التركيب وحده. التسعير مبلغ ثابت $0.002 لكل استدعاء ناجح على وحدة item؛ إخفاقات التحقق لا تُفوتر. يجوز إرسال الأعداد الكبيرة كسلاسل عشرية ضمن حد الأرقام المنشور حتى لا يقطعها JSON.
براهين الصف وعروض التعمية والأتمتة
لأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، كل استدعاء ناجح يكلف $0.002 المنشور بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة؛ ومسار المتصفح المجاني يشغّل دالة solve ذاتها.
حالات التكامل
فحوصات في دفاتر التعمية وCAS
ثبّتوا شهادات golden لبوكليغتون لأوليات ثابتة في اختبارات الوحدة دون إعادة تنفيذ modPow وفحوص gcd في كل لغة.
أسئلة تقنية
كم يكلف اختبار أولية بوكليغتون؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمبلغ $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.