حاسبة دالة الكتلة الهندسية

تحسب أداة دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع الهندسي احتمال وقوع أول نجاح في سلسلة من المحاولات المستقلة عند المحاولة k تحديدًا. أدخلوا احتمال النجاح الثابت p ورقم محاولة موجبًا k، فتطبق الأداة P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) × p. تفيد الأداة في دراسة الاحتمالات، وتحليل إعادة المحاولة، وفحص الجودة، وكل عملية تتكرر بالاحتمال نفسه حتى أول نجاح. الحساب حتمي ولا يعتمد على المحاكاة، كما تُرفض الاحتمالات الواقعة خارج المجال الصحيح.

فهم ما تقيسه دالة الكتلة الهندسية

يمثل المتغير العشوائي الهندسي عدد المحاولات المستقلة اللازمة لرصد أول نجاح. لكل محاولة احتمال النجاح نفسه p، ويكون احتمال فشلها واحدًا ناقص p. لكي يقع أول نجاح في المحاولة k، يجب أن تفشل العملية k ناقص واحد من المرات بالضبط ثم تنجح.

يتيح استقلال المحاولات ضرب هذه الاحتمالات، فنحصل على دالة الكتلة P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) × p. تعتمد هذه الحاسبة الاصطلاح الذي يعد المحاولة الناجحة نفسها ضمن k، ولذلك تبدأ أرقام المحاولات الصحيحة من واحد. تعد بعض الكتب بدلًا من ذلك عدد مرات الفشل قبل أول نجاح، فتستخدم مجالًا يبدأ من صفر.

إذا كان مرجعكم يعتمد ذلك الاصطلاح البديل، فأضيفوا واحدًا إلى عدد مرات الفشل قبل إدخال k. فعلى سبيل المثال، عندما تساوي p القيمة 0.25 وتساوي k القيمة 3، ينبغي أن يحدث فشلان يتبعهما نجاح. تكون النتيجة مربع 0.75 مضروبًا في 0.25، أي 0.140625.

تمثل هذه القيمة احتمال وقوع النجاح لأول مرة في المحاولة الثالثة بالضبط، لا احتمال وقوع نجاح واحد على الأقل خلال ثلاث محاولات. وهذا الفرق مهم؛ فدالة الكتلة تصف نتيجة محددة، بينما يجمع الاحتمال التراكمي عدة أرقام محتملة للمحاولة.

إدخال p وk بصورة صحيحة وقراءة النتيجة

أدخلوا p بوصفها عددًا محدودًا أكبر من صفر وأصغر من أو يساوي واحدًا. تمثل القيمة العشرية 0.2 احتمال نجاح قدره 20 في المئة في كل محاولة. يُستبعد الصفر لأن العملية التي لا تملك أي فرصة للنجاح لا يمكن أن تكون لها محاولة ناجحة أولى، كما أن القيم الأكبر من واحد أو الأصغر من صفر ليست احتمالات.

أدخلوا k عددًا صحيحًا موجبًا لأن المحاولات تعد بصورة منفصلة: المحاولة 1، ثم المحاولة 2، وهكذا. تؤدي الكسور والصفر والقيم السالبة واللانهاية والحقول الناقصة إلى خطأ إدخال بدلًا من نتيجة مضللة. يعيد الرد القيمتين p وk بعد توحيدهما، ويعرض probability بوصفها قيمة عددية، ويتضمن الصيغة المستخدمة.

تعني نتيجة 0.140625 أن احتمال وقوع أول نجاح في المحاولة المطلوبة تحديدًا يبلغ 14.0625 في المئة. عندما تساوي p واحدًا، يكون النجاح مؤكدًا في المحاولة الأولى؛ لذلك تعيد k المساوية لواحد القيمة واحدًا، وتعيد المحاولات اللاحقة صفرًا. عند الاحتمالات الصغيرة أو قيم k الكبيرة جدًا، قد يكون الاحتمال الرياضي ضئيلًا إلى حد تعرض فيه حسابات الفاصلة العائمة صفرًا.

هذا انخفاض عددي وليس عشوائية؛ ويظل الحدث ممكنًا نظريًا عندما تقع p بين صفر وواحد.

استخدام النتيجة من دون الخلط بين التوزيعات المتقاربة

استخدموا دالة الكتلة الهندسية عندما تكون المحاولات مستقلة، ويبقى احتمال النجاح ثابتًا، ويتعلق السؤال بموعد وقوع أول نجاح. يستطيع فريق برمجيات نمذجة إعادة المحاولة الدقيقة التي يكتمل فيها الطلب للمرة الأولى، بشرط أن يكون لكل إعادة محاولة معدل نجاح متقارب وألا تغير حالات الفشل السابقة السلوك اللاحق. ويستطيع فريق الجودة نمذجة رقم القطعة التي يظهر عندها أول مكون معيب، عندما يكون للقطع المفحوصة احتمال عيب ثابت ومستقل.

ويمكن للمعلم التحقق من مسائل تتناول رمي العملات أو الرميات الحرة أو الاتصالات أو تشغيل الآلات. لا تستخدموا هذه الدالة عندما تتغير p بين المحاولات، أو تؤثر المحاولات بعضها في بعض، أو يغير السحب من دون إرجاع الاحتمالات بدرجة جوهرية. وينبغي أيضًا تمييزها من التوزيع ذي الحدين؛ إذ يحصي الأخير عددًا محددًا من النجاحات ضمن عدد ثابت من المحاولات، بينما يتوقف التوزيع الهندسي تصوريًا عند أول نجاح ويسند احتمالًا إلى رقم محاولته.

إذا أردتم احتمال النجاح بحلول المحاولة k، فاستخدموا التوزيع التراكمي الهندسي 1 - (1 - p)^k بدلًا من قيمة كتلة واحدة. وإذا أردتم متوسط الانتظار، فإن متوسط عدد المحاولات الهندسي هو 1/p. يفصل التمييز بين المحاولة الدقيقة والحد التراكمي والمتوسط بين الأسئلة، كي لا يجيب رقم يبدو معقولًا عن سؤال عملي أو دراسي غير مقصود.