Geometrische PMF

Der Rechner für die geometrische Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der erste Erfolg einer Folge unabhängiger Versuche genau im Versuch k eintritt. Geben Sie die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p und eine positive Versuchsnummer k ein; das Werkzeug wendet P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) × p an. Es eignet sich für Wahrscheinlichkeitslehre, Wiederholungsanalysen, Qualitätsprüfungen und jeden Prozess, der mit gleicher Erfolgschance bis zum ersten Erfolg wiederholt wird. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keine Simulation und weist Wahrscheinlichkeiten außerhalb des gültigen Bereichs zurück.

Was die geometrische Wahrscheinlichkeitsfunktion misst

Eine geometrisch verteilte Zufallsvariable modelliert die Anzahl unabhängiger Versuche bis zum ersten Erfolg. Jeder Versuch besitzt dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p; seine Misserfolgswahrscheinlichkeit beträgt eins minus p. Damit der erste Erfolg im Versuch k eintritt, muss der Prozess genau k minus einmal scheitern und anschließend erfolgreich sein.

Aufgrund der Unabhängigkeit dürfen diese Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. So entsteht die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) × p. Dieser Rechner verwendet die Konvention, bei der k den erfolgreichen Versuch selbst mitzählt.

Gültige Versuchsnummern beginnen deshalb bei eins. Manche Lehrbücher zählen stattdessen die Misserfolge vor dem ersten Erfolg und verwenden einen bei null beginnenden Wertebereich. Falls Ihre Quelle diese andere Konvention nutzt, addieren Sie vor der Eingabe von k eins zur Anzahl der Misserfolge.

Bei p gleich 0.25 und k gleich 3 müssen beispielsweise zwei Misserfolge von einem Erfolg gefolgt werden. Das Ergebnis lautet 0.75 zum Quadrat mal 0.25, also 0.140625. Dies ist die Wahrscheinlichkeit für den ersten Erfolg genau im dritten Versuch, nicht die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg innerhalb von drei Versuchen.

Der Unterschied ist wichtig: Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt ein einzelnes genaues Ergebnis, eine kumulierte Wahrscheinlichkeit fasst hingegen mehrere mögliche Versuchsnummern zusammen.

p und k korrekt eingeben und das Ergebnis deuten

Geben Sie p als endliche Zahl größer als null und kleiner oder gleich eins an. Eine Dezimalzahl wie 0.2 steht für eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 20 Prozent bei jedem Versuch. Null ist ausgeschlossen, weil ein Prozess ohne Erfolgschance niemals einen ersten erfolgreichen Versuch haben kann; Werte über eins oder unter null sind ebenfalls keine Wahrscheinlichkeiten.

Geben Sie k als positive ganze Zahl an, denn Versuche werden diskret gezählt: Versuch 1, Versuch 2 und so weiter. Brüche, null, negative Werte, Unendlichkeiten und fehlende Felder führen zu einem Fehler wegen ungültiger Eingabe und nicht zu einem irreführenden Ergebnis. Die Antwort gibt die normalisierten Werte p und k wieder, liefert probability als Zahlenwert und nennt die verwendete Formel.

Das Ergebnis 0.140625 bedeutet, dass der erste Erfolg mit einer Wahrscheinlichkeit von 14.0625 Prozent genau im angeforderten Versuch eintritt. Ist p gleich eins, ist der Erfolg im ersten Versuch sicher; k gleich eins liefert daher eins, spätere Versuche liefern null. Bei kleinen Wahrscheinlichkeiten oder sehr großem k kann der mathematische Wert so winzig sein, dass die Gleitkommaarithmetik null anzeigt.

Das ist ein numerischer Unterlauf und kein Zufall; bei p zwischen null und eins bleibt das Ereignis theoretisch möglich.

Das Ergebnis ohne Verwechslung ähnlicher Verteilungen nutzen

Verwenden Sie die geometrische Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn die Versuche unabhängig sind, die Erfolgschance konstant bleibt und nach dem Zeitpunkt des ersten Erfolgs gefragt wird. Ein Softwareteam kann den genauen Wiederholungsversuch modellieren, in dem eine Anfrage erstmals abgeschlossen wird, sofern jeder Versuch ungefähr dieselbe Erfolgsquote besitzt und frühere Fehler das spätere Verhalten nicht verändern. Ein Qualitätsteam kann die Artikelnummer modellieren, bei der das erste fehlerhafte Bauteil gefunden wird, wenn geprüfte Artikel eine stabile, unabhängige Fehlerwahrscheinlichkeit haben.

Lehrkräfte können damit Aufgaben zu Münzwürfen, Freiwürfen, Anrufen oder Maschinenstarts prüfen. Nutzen Sie diese Funktion nicht, wenn sich p zwischen den Versuchen ändert, Versuche einander beeinflussen oder Ziehen ohne Zurücklegen die Chancen wesentlich verändert. Unterscheiden Sie sie auch von der Binomialverteilung: Diese zählt eine festgelegte Anzahl von Erfolgen in einer festen Zahl von Versuchen, während die geometrische Verteilung gedanklich beim ersten Erfolg endet und dessen Versuchsnummer bewertet.

Benötigen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit bis einschließlich Versuch k, verwenden Sie die geometrische Verteilungsfunktion 1 - (1 - p)^k statt eines einzelnen PMF-Werts. Für die mittlere Wartezeit beträgt die durchschnittliche Versuchsanzahl 1/p. Die Trennung zwischen genauem Versuch, kumulierter Grenze und Mittelwert verhindert, dass eine plausibel wirkende Zahl die falsche praktische oder schulische Frage beantwortet.