Überlagerung zweier Sinusoiden

Wenn zwei reine Töne, Wechselspannungen oder erzwungene Schwingungen dieselbe Frequenz teilen, ist ihre Summe stets eine weitere Sinusoide bei dieser Frequenz — es ändern sich nur Amplitude und Phase. Studierende, Audioingenieure und Schaltungsentwickler brauchen diese kombinierte Amplitude und Phase, ohne Produkt-zu-Summen-Identitäten für jedes Zeigerpaar von Hand auszuweiten. Dieser Rechner zur Überlagerung zweier Sinusoiden nimmt die beiden Amplituden und Phasen entgegen, wandelt sie in rechtwinklige Zeigerkomponenten um, addiert diese Komponenten und liefert den Betrag sowie die atan2-Phase des Resultierenden. Die gemeinsame Kreisfrequenz muss nicht angegeben werden: sie faktorisiert sich aus dem Zeigerbild heraus und kürzt sich aus Amplitude und Phase der Summe.

Was Überlagerung gleicher Frequenz in Zeigerform bedeutet

Eine reelle Kosinusoide fester Kreisfrequenz ω lässt sich als A cos(ωt + φ) schreiben. In der Zeigerkonvention der Wechselstromanalyse und einführender Wellenkurse wird diese Welle durch die komplexe Zahl A e hoch jφ dargestellt, oder gleichwertig durch das rechtwinklige Paar (A cos φ, A sin φ). Zwei solche Wellen mit derselben ω zu addieren ist genau die Vektorsumme ihrer Zeiger: die Realteile addieren sich und die Imaginärteile ebenfalls.

Hat die erste Welle die Amplitude A1 und die Phase φ1 und die zweite die Amplitude A2 und die Phase φ2, so ist die rechtwinklige Summe Rx gleich A1 cos φ1 plus A2 cos φ2 und Ry gleich A1 sin φ1 plus A2 sin φ2. Die kombinierte Amplitude R ist die euklidische Länge hypot(Rx, Ry), und die kombinierte Phase φ ist der Zwei-Argument-Arkustangens atan2(Ry, Rx), der das Ergebnis im richtigen Quadranten platziert statt im Haupt-Halbintervall eines naiven arctan von Ry über Rx.

Die Rekonstruktion des Zeitsignals ist unmittelbar: die Summe ist R cos(ωt + φ) mit derselben ω wie zu Beginn. Heben sich die beiden Zeiger vollständig auf, ist R null und dieser Endpunkt meldet Phase null, damit Clients stets ein endliches Polarpaar erhalten. Vorzeichenbehaftete Amplituden sind erlaubt; ein negatives A entspricht einem positiven Betrag mit zusätzlichem π (oder einhundertachtzig Grad) Phase, wie in der Schulbuchalgebra.

Phasen dürfen jede endliche reelle Zahl in Grad oder Radiant sein und werden bei der Eingabe nicht auf ein Hauptintervall reduziert, sodass ein Vollkreis von dreihundertsechzig Grad nach der Umrechnung wie null wirkt. Weil die Frequenz geteilt wird, liegen Schwebungen und Amplitudenmodulation, die zwei verschiedene Frequenzen brauchen, außerhalb dieser Seite und gehören zu getrennten Werkzeugen.

Wann die Addition zweier gleichfrequenter Schwingungen hilft

Einführende Physik- und Wechselstromkurse vergeben jedes Semester Dutzende Zeigerübungen mit zwei Tönen oder zwei Spannungen; ein Live-Rechner, der kombinierte Amplitude und quadrantentreue Phase liefert, lässt Lernende die Arbeit prüfen, ohne Kosinuszeichen von Hand umzudrehen. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das nicht endlichen Müll ablehnt und nie eine zweite Frequenz erfindet, wenn die Aufgabe reine Mono-Frequenz-Überlagerung nennt. Elektroingenieur-Hausaufgaben zu seriellen Wechselspannungsquellen und Kirchhoff-Spannungsschleifen reduzieren sich auf dieselbe Zeigersumme, bevor Impedanz ins Modell kommt.

Inhaltsseiten, die für Rechner zur Überlagerung zweier Sinusoiden ranken, profitieren von einem kostenlosen Browserpfad, der mit dem bezahlten Automatisierungspfad auf demselben reinen Modul übereinstimmt. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten Felder in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare kombinierte Amplituden und Phasen für Hausaufgaben, Laborschlüssel und Edge-Worker, ohne eigene Bibliotheken für komplexe Zahlen aufzubauen.

Schwebungen unterschiedlicher Frequenz, Fourier-Reihen vieler Harmonischer und vollständige SPICE-Zeigernetze bleiben getrennte Suchabsichten und verbleiben auf eigenen Seiten, damit diese sich auf den Zwei-Wellen-Fall gleicher Frequenz konzentriert.