Theil-Index
Vier ungleiche Einkommen mit einer Summe von 100 und einem Mittelwert von 25 ergeben einen positiven Theil-Index weit unter seiner Obergrenze für vier Personen: Ungleichheit besteht, sie ist jedoch mäßig. Mit Gruppenkennungen sehen Sie, wo sie liegt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Einkommen
- 10, 20, 30, 40
- N
- 4
- Durchschnittseinkommen
- 25
- Gesamteinkommen
- 100
- Theil-T
- 0,1064401353
Der Theil-T-Index ist ein entropiebasiertes Ungleichheitsmaß, das eine Liste individueller Einkommen in eine einzige nichtnegative Zahl verwandelt: null, wenn alle denselben Betrag verdienen, und größer, wenn sich Einkommen bei weniger Personen konzentriert. Ökonomen, Politikanalysten und Datenjournalisten nutzen ihn, weil er additiv in Intra- und Intergruppenkomponenten zerlegbar ist—etwas, das der Gini-Koeffizient nicht sauber bietet. Diese Fähigkeit akzeptiert eine Verteilung streng positiver Einkommen, berechnet die klassische Theil-T-Formel mit dem natürlichen Logarithmus, meldet Mittelwert und Gesamteinkommen, eine theoretische Obergrenze ln(n) und ein optionales normalisiertes Verhältnis T/ln(n). Wenn Sie zusätzlich Subgruppenlabels gleicher Länge liefern, liefert sie Theil-Werte je Gruppe sowie die Within- und Between-Beiträge, die wieder zum Gesamtindex summieren.
Was der Theil-T-Index misst und warum Entropie zählt
Theil T gehört zur Familie der generalisierten Entropie-Ungleichheitsmaße. Wenn jedes Einkommen dem Mittel entspricht, ist jedes Verhältnis eins, jeder Logarithmus-Term null und T genau null—perfekte Gleichheit. Wenn eine Person fast das gesamte Einkommen hält und die übrigen nur winzige positive Beträge behalten, wachsen die gewichteten Logarithmus-Terme und T nähert sich seiner endlichen Stichprobengrenze ln(n).
T als Kullback–Leibler-Divergenz zwischen der tatsächlichen Einkommensverteilung und der Gleichanteil-Benchmark zu lesen ist keine Marketing-Sprache: es ist die standardmäßige informationstheoretische Lesart, die die Entropie-Bezeichnung rechtfertigt. Anders als der Gini-Koeffizient, der die Lorenz-Kurve mit einer Doppelzählung paarweiser Abstände zusammenfasst, ist Theil T empfindlicher gegenüber Änderungen am oberen Ende der Verteilung und erlaubt eine exakte additive Zerlegung über Bevölkerungspartitionen. Diese Zerlegung erklärt, warum Regionalkonten, branchenspezifische Lohnstudien und Analysen der Schulbezirksfinanzierung oft Theil bevorzugen, wenn die Forschungsfrage lautet, wie viel Ungleichheit innerhalb von Gruppen lebt und wie viel aus Lücken zwischen Gruppen kommt.
Dieser Rechner setzt diese Definition nur mit Arithmetik endlicher Zahlen um: kein Sampling, keine Modellaufrufe und keine versteckte Neugewichtung, es sei denn, Sie liefern die Einkommen, die Sie messen wollen.
Wo der Theil-Index in der Forschung hilft
Entwicklungsökonomen und nationale Statistikämter berechnen Theil T auf Haushalts-Survey-Mikrodaten, um Ungleichheitstrends zu verfolgen und Veränderungen Within-Region versus Between-Region zuzuschreiben. Unternehmensvergütungsteams und HR-Analytics-Plattformen wenden dieselbe Formel auf Gehaltsbänder nach Abteilung oder Standort an, wenn sie ein zerlegbares Ungleichheits-Dashboard statt eines einzigen undurchsichtigen Gini brauchen. Halten Sie Einkommen streng positiv, richten Sie optionale Gruppenlabels indexweise aus, und Sie erhalten reproduzierbare entropiebasierte Ungleichheitsmaße für Notebooks, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne einen eigenen Statistik-Stack aufzubauen.
Anwendungsfälle
Survey-Mikrodaten und regionale Zerlegung
Berechnen Sie Theil T auf Haushaltseinkommen und trennen Sie mit Regionslabels die Ungleichheit in Within-Region- und Between-Region-Anteile für Policy-Briefs.
Vergütungs- und Workforce-Analytics
Messen Sie Lohnungleichheit über Beschäftigte und zerlegen Sie nach Abteilung oder Standort mit denselben Within- und Between-Theil-Beiträgen.
Lehre und automatisierte Bewertung
Lassen Sie Studierende Lehrbuch-Theil-Beispiele und optionale Subgruppen-Identitäten gegen ein deterministisches Orakel in LMS-Plugins prüfen.
Häufige Fragen
Warum muss jedes Einkommen streng positiv sein?
Theil T nutzt den natürlichen Logarithmus von Einkommensverhältnissen.
Wie unterscheidet sich Theil T vom Gini-Koeffizienten?
Gini fasst die Lorenz-Kurve zusammen und ist über Gruppen nicht einfach additiv zerlegbar. Theil T ist entropiebasiert, topsensitiver und teilt sich klar in Within-Group- und Between-Group-Ungleichheit.
Was bedeutet ein Theil-Index von null?
Vollkommene Gleichheit: Alle verdienen den Mittelwert, und jeder Logarithmus-Term ist null. Der Index steigt, je stärker sich Einkommen konzentriert, bis zu einer Obergrenze gleich dem natürlichen Logarithmus der Personenzahl.
Kann ich Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen trennen?
Ja. Geben Sie zu jedem Einkommen eine Gruppenkennung an, etwa Region oder Abteilung. Sie erhalten den Index jeder Gruppe sowie den Anteil innerhalb und zwischen den Gruppen, die zusammen den Gesamtwert ergeben.
Was ist der normierte Theil-Index?
Er ist der Index geteilt durch seinen höchstmöglichen Wert für diese Personenzahl, den natürlichen Logarithmus von n. So lassen sich Bevölkerungen unterschiedlicher Größe auf einer gemeinsamen Skala von 0 bis 1 vergleichen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/econ/theil-index-distribution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"incomes":[10,20,30,40]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/econ/theil-index-distribution", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"incomes": [
10,
20,
30,
40
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/econ/theil-index-distribution",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"incomes": [
10,
20,
30,
40
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/econ/theil-index-distribution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"incomes":[10,20,30,40]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"incomes":[10,20,30,40]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/econ/theil-index-distribution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"incomes": [
10,
20,
30,
40
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "econ.theil_index_distribution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Was der Theil-T-Index misst und warum Entropie zählt
Für eine Bevölkerung von n Personen mit streng positiven Einkommen y_i und arithmetischem Mittel μ ist der Index der Durchschnitt der Einkommensanteile multipliziert mit dem Logarithmus dieser Anteile: T ist eins über n mal die Summe über i von (y_i über μ) mal dem natürlichen Logarithmus von (y_i über μ).
Eingabevertrag, optionale Gruppen, Antwortfelder und Fehler
Zahlen werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet für stabile Goldens über Runtimes. Senden Sie einen JSON-Body mit dem Pflichtfeld incomes: ein nicht leeres Array streng positiver endlicher Zahlen (die Aliase values, y und data werden akzeptiert). Leere Listen, Nullen, Negative und nicht endliche Werte scheitern mit invalid_input, weil der Logarithmus eines nicht positiven Einkommensverhältnisses undefiniert ist. Optional senden Sie groups (Aliase subgroup, labels, region): ein Array nicht leerer Labels gleicher Länge wie incomes. Sind Gruppen vorhanden, bündelt der Solver Beobachtungen nach Label, berechnet den Theil T jeder Gruppe, bildet die Within-Group-Ungleichheit als einkommensanteilsgewichtete Summe dieser Gruppenindizes und die Between-Group-Ungleichheit als Summe von s_g mal ln(s_g über p_g), wobei s_g der Anteil des Gruppe am Gesamteinkommen und p_g ihr Bevölkerungsanteil ist. Die Antwort liefert stets n, mean_income, total_income, theil_t, max_theil als ln(n) für n größer als eins (null für ein Singleton), normalized_theil als theil_t geteilt durch max_theil, wenn diese Grenze positiv ist, ein equal_share-Boolean, einen formula-String und eine kurze Interpretation. Mit groups liefert sie auch within_theil, between_theil, decomposition_check (deren Summe, zur Prüfung), group_count und ein nach Label sortiertes groups-Array mit Mittelwerten, Anteilen und Beiträgen je Gruppe. Validierungsfehler werden nicht berechnet; erfolgreiche Aufrufe nutzen den veröffentlichten Basispreis $0.002 pro Item auf dem API-Pfad, während das Browser-Tool kostenlos bleibt.
Wo eine Theil-Index-API in Forschung und Produkt Wert schafft
Unterrichts- und MOOC-Plattformen nutzen den Endpoint als Orakel: Studierende senden kleine Beispielvektoren wie zehn-zwanzig-dreißig-vierzig und prüfen sowohl das Gesamt-T als auch, mit Regionslabels, die Within-plus-Between-Identität. Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz, fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgerechnet, und Sie können gerundete Ausgaben in Unit-Tests fixieren.
Technische Fragen
Wie wird der Theil-T-Index aus Einkommen berechnet?
Für n positive Einkommen mit Mittel μ gilt T = (1/n) · Σ (y_i/μ) · ln(y_i/μ). Die API liefert diesen Wert als theil_t, plus Mittel, Total, max_theil = ln(n) und optional normalized_theil = T/ln(n).
Wie funktioniert die Subgruppenzerlegung?
Liefern Sie ein mit incomes ausgerichtetes groups-Array. Die Antwort enthält within_theil, between_theil und Details je Gruppe. Konstruktionsgemäß gilt within_theil + between_theil gleich dem Gesamt-theil_t (bis auf Rundung).
Was kostet der Theil-Index-Rechner?
Das Browser-Tool ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingaben werden nicht abgerechnet.