Teiler-Rechner

Teiler sind das Rückgrat der elementaren Zahlentheorie: Sie entscheiden, ob eine Zahl prim ist, wie sich eine Menge in gleiche Teile aufteilen lässt und wie sich ein Bruch, ein Verhältnis oder ein Zeitplan vereinfachen lässt. Statt Kandidaten einzeln in einer Tabelle oder einem Skript zu prüfen, senden Sie eine Zahl und erhalten die vollständige, exakte Antwort in einem einzigen deterministischen Aufruf. Derselbe Code, der hier antwortet, läuft auf dieser Seite kostenlos in Ihrem Browser.

Was ein Teiler ist und warum die vollständige Liste zählt

Ein Teiler einer Zahl n ist jede positive ganze Zahl d, für die n geteilt durch d keinen Rest lässt. Jede Zahl hat mindestens zwei davon — eins und sich selbst — und Primzahlen haben genau diese beiden.

Wer die Teiler einer Zahl vollständig kennt und nicht nur, ob ein bestimmter Kandidat sie teilt, kann die meisten Fragen beantworten, die man zu ganzen Zahlen tatsächlich stellt: ob n prim ist, welcher größte gemeinsame Teiler mit einer anderen Zahl möglich ist, in wie viele gleich große Gruppen sich eine Menge aufteilen lässt oder welche Nenner einen Bruch abbrechend machen. Eine Teilantwort zwingt Sie zum Weiterraten; eine vollständige, sortierte Liste klärt die Frage auf einen Blick.

Deshalb liefert dieser Endpunkt die gesamte Menge statt einer Ja-oder-Nein-Prüfung — und zusätzlich die Anzahl, denn allein die Teileranzahl ordnet Zahlen in Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen und die seltenen hochzusammengesetzten Zahlen ein, die viele Teiler in einen kleinen Wert packen.

Wie die Liste berechnet wird

Der Algorithmus ist Probedivision bis zur Quadratwurzel von n — das klassische exakte Verfahren für dieses Problem. Teiler treten paarweise auf: Wenn eine kleine Zahl i die Zahl n teilt, ist auch der Quotient n/i ein Teiler, sodass die Schleife nur bis zur Quadratwurzel laufen muss, um jeden Teiler der Menge zu finden. Jeder Durchlauf sammelt die kleine Hälfte jedes Paars in aufsteigender und die große Hälfte in absteigender Reihenfolge; das Zusammenfügen beider Hälften ergibt die fertige Liste bereits sortiert, ohne zusätzlichen Sortierschritt und ohne Gleitkommaarithmetik.

Die Laufzeit wächst mit der Quadratwurzel der Eingabe, sodass selbst eine Zahl in Milliardenhöhe in Millisekunden beantwortet wird, und die veröffentlichte Obergrenze hält den ungünstigsten Fall sicher innerhalb einer kostenlosen Anfrage. Da die Berechnung reine Ganzzahlarithmetik ist — ohne Zufall, ohne Uhrzeit und ohne Netzwerk — erzeugt dieselbe Eingabe immer Byte für Byte dieselbe Ausgabe.

Validierung, Grenzen und Fehler

Der Endpunkt akzeptiert ein Feld, n, das eine positive ganze Zahl sein muss. Null und negative Zahlen werden abgelehnt, weil Teilbarkeit hier über positiven ganzen Zahlen definiert ist; Nicht-Ganzzahlen wie 12.5 werden abgelehnt, weil der Begriff des exakten Teilers für sie nicht gilt; Werte über der veröffentlichten Grenze werden abgelehnt, damit jede Anfrage innerhalb ihres veranschlagten Kostenrahmens bleibt. Es gibt weder Paginierung noch Kürzung — die Liste ist für jede akzeptierte Eingabe immer vollständig.