Tangens des Doppelwinkels
Verdoppeln Sie den Winkel im Tangens, ohne den Winkel zu kennen: Ein Tangens von 0,5 ergibt den Zähler 1 und den Nenner 0,75, also ist tan(2θ) gleich 1 geteilt durch 0,75. Die Werte 1 und −1 werden als undefiniert gemeldet. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Tangens von θ
- 0,5
- Zähler
- 1
- Nenner
- 0,75
- Tangens von 2θ
- 1,3333333333
Dieser Rechner für den Tangens des Doppelwinkels bestimmt tan(2θ), wenn tan(θ) bereits bekannt ist. Er setzt den Wert in 2 tan(θ) geteilt durch 1 minus tan²(θ) ein, zeigt Zähler und Nenner und gibt das Ergebnis zurück. Ist der Nenner null, meldet der Rechner den Tangens als undefiniert, statt eine irreführende Zahl auszugeben. Das Eingabeformat eignet sich für Algebraaufgaben, Identitätsprüfungen und Anwendungen, in denen der ursprüngliche Winkel unbekannt ist.
Was die Doppelwinkelformel leistet
Die Formel berechnet den Tangens des doppelten Winkels allein aus dem Tangens des Ausgangswinkels: zweimal der Tangens, geteilt durch eins minus den quadrierten Tangens. Den Winkel selbst brauchen Sie dafür nicht, weder in Grad noch im Bogenmaß. Das ist praktisch, wenn eine Aufgabe nur ein Seitenverhältnis aus einem rechtwinkligen Dreieck nennt oder eine algebraische Bedingung liefert. Viele Winkel haben denselben Tangens, doch für alle ergibt die Formel denselben Wert, solange er definiert ist.
Grenzfälle und typische Fehler
Ist der Tangens genau 1 oder −1, wird der Nenner null, und tan(2θ) existiert nicht; das entspricht einem doppelten Winkel, dessen Kosinus null ist. Werte knapp daneben sind erlaubt und können sehr große Ergebnisse liefern. Der häufigste Fehler ist, nur den Tangens zu verdoppeln und den Nenner zu vergessen. Ein zweiter ist ein Vorzeichenfehler beim Quadrieren. Weil Zähler und Nenner einzeln angezeigt werden, können Sie Ihre handschriftliche Rechnung Schritt für Schritt vergleichen.
Nutzen Sie einen bekannten Tangens ohne Winkelbestimmung
Sie müssen θ weder in Grad noch im Bogenmaß angeben, da die Doppelwinkelidentität direkt mit dem Tangenswert arbeitet. Ist tan(θ) beispielsweise 0.5, wird der Zähler 1 und der Nenner 0.75; tan(2θ) ist somit 1 geteilt durch 0.75. Das ist besonders praktisch, wenn eine Aufgabe ein Seitenverhältnis aus einem rechtwinkligen Dreieck oder eine algebraische Bedingung vorgibt, aber keinen Winkel nennt.
Dezimalwerte und endliche numerische Zeichenfolgen werden akzeptiert; leere, nicht numerische, unendliche oder NaN-Eingaben werden abgelehnt. Die Antwort wiederholt den normalisierten Tangens, zeigt beide Bruchteile und nennt die verwendete Formel. Anhand dieser Zwischenwerte können Sie Ihre handschriftliche Einsetzung mit dem berechneten Ergebnis vergleichen und Vorzeichen- oder Quadrierungsfehler finden.
Wegen der Periodizität kann ein Tangenswert zu mehreren Winkeln gehören; sie liefern mit dieser Identität dasselbe Ergebnis, sofern der Doppelwinkeltangens definiert ist.
Verstehen Sie Identität und Definitionslücke
Die Berechnung verwendet tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 - tan²(θ)). Steht t für tan(θ), wird lediglich 2t durch 1 - t² geteilt. Der Zähler behält das Vorzeichen von t, während der Nenner positiv, null oder negativ sein kann.
Bei t gleich 1 oder -1 ist t² gleich 1 und der Nenner exakt null. Werte nahe 1 oder -1 bleiben mathematisch definiert, obwohl das Ergebnis wegen des kleinen Nenners sehr groß werden kann. Der Rechner rundet solche Eingaben nicht stillschweigend auf den undefinierten Fall.
Er wertet die bereitgestellte endliche Zahl aus und lehnt das Ergebnis nur ab, wenn der berechnete Nenner exakt null ist oder die Arithmetik keinen endlichen Wert liefern kann.
Anwendungsfälle
Prüfen Sie Trigonometrieaufgaben
Vergleichen Sie Zähler, Nenner und Ergebnis einer Doppelwinkeleinsetzung mit Ihrer handschriftlichen Rechnung.
Beginnen Sie mit einem Dreiecksverhältnis
Nutzen Sie Gegenkathete durch Ankathete als tan(θ), ohne θ zunächst mit einer Umkehrfunktion zu bestimmen.
Erkennen Sie singuläre Ergebnisse
Finden Sie tan(θ)-Werte von 1 oder -1, bei denen tan(2θ) undefiniert ist.
Häufige Fragen
Welche Formel wird verwendet?
Verwendet wird tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 - tan²(θ)).
Wann ist das Ergebnis undefiniert?
Bei tan(θ) gleich 1 oder -1 ist es undefiniert, weil der Nenner 1 - tan²(θ) null ist.
Verwendet die Eingabe Grad oder Bogenmaß?
Es ist keine Einheit nötig. Die Eingabe ist bereits ein Tangens und damit ein einheitenloses Verhältnis.
Wie groß ist tan(2θ), wenn tan θ gleich 0,5 ist?
Der Zähler ist zweimal 0,5, also 1, und der Nenner eins minus 0,5 zum Quadrat, also 0,75. Das Ergebnis ist 1 geteilt durch 0,75, und der Rechner zeigt beide Schritte an.
Ist tan(2θ) das Doppelte von tan θ?
Nein. Das Verdoppeln liefert nur den Zähler der Formel; geteilt wird noch durch eins minus den quadrierten Tangens. Bei 0,5 ergibt das Doppelte 1, die Antwort ist aber 1 geteilt durch 0,75.
Warum wird das Ergebnis negativ, wenn tan θ größer als 1 ist?
Dann bleibt der Zähler positiv, doch der Nenner wird negativ, weil das Quadrat größer als eins ist. Ein positiver Tangens über 1 führt deshalb zu einem negativen Wert für tan(2θ).
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/tan-double-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"tan_theta":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/tan-double-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"tan_theta": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/tan-double-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"tan_theta": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/tan-double-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"tan_theta":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"tan_theta":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/tan-double-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"tan_theta": 0.5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.tan_double_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Nutzen Sie einen bekannten Tangens ohne Winkelbestimmung
Tragen Sie den bekannten Wert von tan(θ) in das Feld tan_theta ein.
Verstehen Sie Identität und Definitionslücke
Eine Division durch null definiert keinen reellen Tangenswert; deshalb gibt die Fähigkeit einen klaren invalid_input-Fehler zurück. Dies entspricht Doppelwinkeln mit einem Kosinus von null, etwa 90 Grad modulo 180 Grad.
Deuten und prüfen Sie das zurückgegebene Ergebnis
Die Antwort enthält Zähler und Nenner, damit Sie jede Einsetzung nachvollziehen können. Ein negatives Ergebnis kann durch einen negativen Zähler oder Nenner entstehen; ein positiver Tangens größer als 1 erzeugt etwa einen positiven Zähler und einen negativen Nenner. Das Feld undefined ist bei jeder erfolgreichen Antwort false, weil undefinierte Fälle als Fehler statt als numerische Datensätze zurückgegeben werden. Lesen Sie tan_double_theta als Wert von tan(2θ), nicht als das Doppelte von tan(θ). Diese Ausdrücke unterscheiden sich gewöhnlich: Das Verdoppeln des Tangens ergibt nur den Zähler, die Korrektur durch den Nenner ist unverzichtbar. Dadurch ist die Automatisierung übersichtlich: Erfolgreiche Aufrufe enthalten stets ein endliches Ergebnis, während invalid_input separat behandelt werden kann. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt kein Netzwerk und verwendet in API und Browser denselben reinen Löser. Für jede API-Anfrage gilt der veröffentlichte Grundpreis von $0.002.
Technische Fragen
Welche Eingabe benötigt der Rechner?
Geben Sie in tan_theta einen endlichen Zahlenwert für tan(θ) an. θ selbst ist nicht erforderlich.
Was kostet eine Berechnung per API?
Jede API-Anfrage nutzt den veröffentlichten Grundpreis von $0.002. Die Berechnung ist auch im Browser verfügbar.