Partialsummen-Rechner

Eine Partialsumme macht aus der Vorschrift einer Folge eine konkrete Zahl, indem sie endlich viele Folgenglieder addiert. Geben Sie eine explizite Formel für das Glied mit dem Index k ein, wählen Sie die Anzahl der Glieder und legen Sie bei Bedarf den Startindex sowie die Ausgabegenauigkeit fest. Der Rechner analysiert die Formel sicher, setzt nacheinander ganzzahlige Indizes ein und addiert die Werte mit kompensierter Summation. Übliche Rechenarten, Potenzen, Klammern, mathematische Konstanten und verbreitete Funktionen mit einem Argument werden unterstützt, ohne Benutzercode auszuführen. Die Antwort nennt den Indexbereich, das erste und letzte Glied, die Partialsumme und bei kleinen Anfragen die vollständige Gliederliste. Die Verarbeitung ist deterministisch und benötigt weder Netzwerk noch Modell, Zufall oder Uhrzeit.

Beschreiben Sie das allgemeine Glied und wählen Sie die ersten n Glieder

Eine Reihe beruht auf einer Folge, und jede Folge benötigt eine Vorschrift für ihre einzelnen Glieder. In diesem Rechner steht der Buchstabe k für den ganzzahligen Index. Beispielsweise beschreibt 1/k^2 die Kehrwertquadrate, während (-1)^(k+1)/k bei einem Startindex von 1 die Glieder der alternierenden harmonischen Reihe liefert.

Das erforderliche Feld n gibt an, wie viele aufeinanderfolgende Werte addiert werden; es ist eine Anzahl und nicht der letzte Index. Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*k und nicht als 2k. Zulässig sind Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit ^; Klammern bestimmen die Gruppierung.

Außerdem stehen die Konstanten pi und e sowie abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln und der Zehnerlogarithmus log zur Verfügung. Der Ausdruck wird als Mathematik analysiert und niemals als JavaScript ausgeführt. Eigenschaftszugriffe, Zuweisungen und beliebiger Code sind deshalb ausgeschlossen.

Achten Sie darauf, dass die Formel an jedem gewählten Index definiert ist: 1/k darf nicht bei null beginnen, und sqrt(k) erfordert für reelle Ergebnisse nichtnegative Indizes.

So wird die Partialsumme berechnet

Nach der Prüfung von Formel und Grenzen zerlegt die Engine den Ausdruck einmalig in einen kleinen Syntaxbaum. Jedes Glied muss eine endliche reelle Zahl sein. Bei der Addition kommt ein kompensiertes Verfahren zum Einsatz, das kleine Rundungsfehler erfasst, die bei gewöhnlicher Gleitkommaaddition verloren gehen.

Das ist besonders hilfreich, wenn eine Reihe Werte sehr unterschiedlicher Größenordnung verbindet oder positive und negative Glieder abwechselt. Die Genauigkeit steuert nur die Darstellung der Antwort, nicht die interne Rechnung: Auswertung und Akkumulation verwenden die verfügbare binäre Präzision, anschließend werden die zurückgegebenen Zahlen auf die gewünschten Dezimalstellen stabilisiert. Anfragen mit höchstens 50 Gliedern enthalten das Array terms zur Kontrolle jedes Summanden.

Die Obergrenze von 10000 Gliedern hält die Ausführung zuverlässig begrenzt. Gleiche Eingaben durchlaufen stets denselben Analyse-, Rechen- und Rundungsweg.

Prüfen Sie Ergebnisse, Konvergenz und praktische Grenzen

Eine Partialsumme hängt immer vom gewählten n und Startindex ab. Sie ist nicht automatisch der Wert einer unendlichen Reihe, selbst wenn eine bekannte Konvergenzformel existiert. Untersuchen Sie die Konvergenz, indem Sie mehrere Partialsummen mit wachsendem n berechnen und die Entwicklung vergleichen.

Die Reihe der Kehrwertquadrate stabilisiert sich allmählich, während die harmonische Reihe 1/k trotz kleiner werdender Glieder weiter wächst. Alternierende Reihen können sich einem Grenzwert annähern, indem sie um ihn schwingen. Vergleichen Sie deshalb aufeinanderfolgende gerade und ungerade Gliederzahlen, statt nur einer gerundeten Anzeige zu vertrauen.

Der Rechner arbeitet mit reellen Zahlen endlicher Genauigkeit, nicht mit symbolischen Brüchen oder Beweisen. Sehr große Potenzen, starke Auslöschung und Werte nahe einer Definitionsgrenze können auch bei kompensierter Addition Genauigkeit verlieren. Stellen Sie die Präzision nur für sinnvoll anzuzeigende Stellen ein; zusätzliche Dezimalstellen können in der Gleitkommarechnung verlorene Information nicht wiederherstellen.

Das kostenlose Browserwerkzeug eignet sich für Unterricht und schnelle Versuche. Wenn Sie eine strenge Fehlerschranke oder eine symbolische geschlossene Form benötigen, verbinden Sie diese numerische Kontrolle mit einer geeigneten analytischen Untersuchung.