Logarithmen erweitern & verdichten

Ein Werkzeug zum Erweitern und Verdichten von Logarithmen schreibt Ausdrücke mit den drei klassischen Gesetzen um, die jeder Algebra-Kurs lehrt. Erweitern wandelt einen Log eines Produkts, Quotienten oder potenziierten Faktors in eine Summe einfacherer Logs um; Verdichten macht das Gegenteil und packt eine Linearkombination von Logs in einen einzigen Log eines Produkts oder Quotienten. Sie senden einen Modus, eine optionale Basis (natürlich, dekadisch, binär oder jede gültige Zahl) und eine Liste positiver Argumente mit Potenzen oder Koeffizienten. Die Antwort liefert den Eingabeausdruck, das umgeschriebene Ergebnis, strukturierte Terme, die angewandten Gesetze und Schrittzeilen, die Sie mit Hausaufgaben oder Unit-Tests abgleichen können.

Die drei Logarithmengesetze

Fast jeder Logarithmus aus dem Unterricht lässt sich mit drei Regeln umformen. Die Produktregel macht aus dem Logarithmus eines Produkts eine Summe: log(A · B) ist log A plus log B. Die Quotientenregel macht aus einem Bruch eine Differenz: log(A / B) ist log A minus log B. Die Potenzregel zieht den Exponenten nach vorn: log(Aⁿ) ist n mal log A. Zusammen wird aus log(x²y/z) die Summe 2 log x + log y − log z. Das gilt für jede feste Basis größer als null und ungleich eins.

Erweitern, zusammenfassen und typische Fehler

Erweitert wird, wenn jeder Faktor seinen eigenen, einfacheren Logarithmus bekommen soll. Zusammengefasst wird in umgekehrter Richtung: Eine Summe aus Vielfachen von Logarithmen wird zu einem einzigen Logarithmus eines Produkts oder Quotienten, wobei Glieder mit Minuszeichen in den Nenner wandern. Typische Fehler sind ein vergessener Exponent, ein negativer Faktor, der im Zähler statt im Nenner landet, und Zahlen von null oder darunter im Logarithmus, die im reellen Bereich nicht erlaubt sind.

Produkt-, Quotienten- und Potenzgesetze für Logarithmen

Drei Identitäten schreiben fast jeden Unterrichts-Logausdruck über den positiven Reellen um. Das Produktgesetz sagt, dass der Log eines Produkts die Summe der Logs ist: Log von A mal B ist Log A plus Log B, für jede feste Basis größer null und ungleich eins. Das Quotientengesetz sagt, dass der Log eines Quotienten eine Differenz ist: Log von A durch B ist Log A minus Log B.

Das Potenzgesetz sagt, dass der Log einer Potenz den Exponenten nach vorn holt: Log von A hoch n ist n mal Log A. Kombiniert erweitert sich Log von x Quadrat mal y durch z zu zwei Log x plus Log y minus Log z. Verdichten geht denselben Weg rückwärts: eine Summe aus Koeffizient mal Log wird zu einem Log eines Produkts potenzierter Faktoren, mit negativen Koeffizienten im Nenner.

Basen können die natürliche Basis e als ln, die dekadische zehn, die binäre zwei, ein generischer Log ohne Index oder jede andere gültige numerische Basis sein. Argumente müssen streng positiv bleiben, wenn sie Zahlen sind; Symbole gelten als Unterrichtsvariablen für positive Größen. Null und negative Zahlen sind Definitionsfehler, keine ästhetischen Wahl, und dieses Werkzeug lehnt sie ab statt einen komplexen Wert zu liefern.

Lehrkräfte nutzen dieselben drei Gesetze für Vereinfachungsübungen, Prüfungsschlüssel und Computeralgebra-Prüfungen, sodass eine deterministische Erweitern-oder-Verdichten-Antwort mit benannten Gesetzen nützlicher ist als eine Black-Box-Vereinfachung, die verbirgt, welche Identität griff.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Halten Sie jedes numerische Argument streng positiv und jede numerische Basis positiv und ungleich eins, damit der reelle Logarithmus-Definitionsbereich gewahrt bleibt. Bevorzugen Sie Symbole für rein algebraische Hausaufgaben und Zahlen, wenn Sie auch Definitionsprüfungen an konkreten Werten wollen. Begrenzen Sie jede Anfrage auf höchstens zweiunddreißig Terme und Absolutwerte von höchstens einer Billion, damit die Zwischenformatierung lesbar bleibt.

Potenz-null-Faktoren tragen nichts bei und werden mit einem expliziten Schritt übersprungen. Diese Seite zielt auf Personen, die Logarithmen erweitern, Logs verdichten, Produkt-Quotient-Potenz-Rechner oder Loggesetze online suchen; sie ist kein numerischer Basiswechsel-Auswerter, kein volles symbolisches CAS und kein Löser logarithmischer Gleichungen. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits Faktoren oder Summanden haben und nur die gesetzesbasierte Umschreibung brauchen; ist Ihre Quelle eine freie Zeichenkette mit verschachtelten Klammern, parsen Sie sie zuerst in terms.