Espandere e condensare logaritmi
Espanda log(x²y/z) in 2 log x + log y − log z, oppure riunisca quella somma in un solo logaritmo, con ogni legge indicata passo per passo. Accetta ln, logaritmo in base dieci, base due o qualsiasi base valida. Gratis nel suo browser.
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Uno strumento per espandere e condensare logaritmi riscrive espressioni con le tre leggi classiche di ogni corso di algebra. Espandere trasforma un log di un prodotto, quoziente o fattore elevato in una somma di log più semplici; condensare fa l'inverso e impacchetta una combinazione lineare di log in un solo log di prodotto o quoziente. Lei invia una modalità, una base opzionale (naturale, comune, binaria o qualsiasi numero valido) e un elenco di argomenti positivi con potenze o coefficienti. La risposta restituisce l'espressione di ingresso, il risultato riscritto, termini strutturati, le leggi applicate e righe passo passo che può confrontare con i compiti o i test unitari.
Leggi di prodotto, quoziente e potenza dei logaritmi
Tre identità riscrivono quasi ogni espressione logaritmica di aula sui reali positivi. La legge del prodotto dice che il log di un prodotto è la somma dei log: log di A per B è log A più log B, per qualsiasi base fissa maggiore di zero e diversa da uno. La legge del quoziente dice che il log di un quoziente è una differenza: log di A su B è log A meno log B.
La legge della potenza dice che il log di una potenza porta l'esponente davanti: log di A alla n è n per log A. Combinate, log di x al quadrato per y su z si espande in due log x più log y meno log z. Condensare percorre lo stesso cammino al contrario: una somma di coefficiente per log diventa un log di un prodotto di fattori elevati, con coefficienti negativi al denominatore.
Le basi possono essere la naturale e scritta come ln, la comune dieci, la binaria due, un log generico senza pedice o qualsiasi altra base numerica valida. Gli argomenti devono restare strettamente positivi quando sono numeri; i simboli sono trattati come variabili di aula che rappresentano quantità positive. Zero e negativi numerici sono errori di dominio, non scelte estetiche, e questo strumento li rifiuta invece di restituire un valore complesso.
I docenti usano le stesse tre leggi per esercizi di semplificazione, chiavi d'esame e controlli di algebra computazionale, così una risposta deterministica di espandere o condensare con leggi nominate è più utile di una semplificazione scatola nera che nasconde quale identità sia scattata.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Mantenga ogni argomento numerico strettamente positivo e ogni base numerica positiva e diversa da uno per rispettare il dominio del logaritmo reale. Preferisca simboli per compiti puramente algebrici e numeri quando vuole anche controlli di dominio su valori concreti. Limiti ogni richiesta ad al massimo trentadue termini e valori assoluti ad al massimo un bilione affinché la formattazione intermedia resti leggibile.
I fattori di potenza zero non contribuiscono e vengono saltati con un passo esplicito. Questa pagina punta a chi cerca espandere logaritmi, condensare log, calcolatore di regole prodotto quoziente potenza o leggi logaritmiche online; non è un valutatore numerico di cambio di base, né un CAS simbolico completo, né un risolutore di equazioni logaritmiche. Preferisca questa capacità quando ha già fattori o addendi e serve solo la riscrittura per leggi; se la fonte è una stringa libera con parentesi annidate, la analizzi prima in terms.
Casi d'uso
Test unitari per semplificatori logaritmici degli studenti
Generi casi noti di espandere e condensare più rifiuti deliberati di argomenti non positivi come valori attesi di kata di programmazione.
Domande frequenti
Cosa fa la modalità expand?
Expand prende un logaritmo di un prodotto, quoziente o fattori elevati (i Suoi terms come arg^power dentro il log) e lo riscrive come somma di coefficiente per log(arg) usando le leggi di prodotto, quoziente e potenza.
Cosa fa la modalità condense?
Condense prende una somma di termini power·log(arg) e la riscrive come un solo log di un prodotto/quoziente degli argomenti elevati.
Quali basi sono supportate?
Ometta base per log generico, usi e/ln per naturale, 10 per comune, 2 per binario, o qualsiasi positivo diverso da 1. Le basi non valide sono rifiutate.
Lo strumento per espandere logaritmi è gratuito?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Perché i numeri dentro il logaritmo devono essere positivi?
Perché il logaritmo reale è definito solo per valori positivi, quindi un numero pari a zero o negativo viene rifiutato. Le lettere come x o y sono trattate come quantità positive, come si fa di solito in classe.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/log-expand \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"mode":"expand","terms":[{"arg":"x","power":2},{"arg":"y","power":1},{"arg":"z","power":-1}]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/log-expand", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"mode": "expand",
"terms": [
{
"arg": "x",
"power": 2
},
{
"arg": "y",
"power": 1
},
{
"arg": "z",
"power": -1
}
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/log-expand",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"mode": "expand",
"terms": [
{
"arg": "x",
"power": 2
},
{
"arg": "y",
"power": 1
},
{
"arg": "z",
"power": -1
}
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/log-expand", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"mode":"expand","terms":[{"arg":"x","power":2},{"arg":"y","power":1},{"arg":"z","power":-1}]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"mode":"expand","terms":[{"arg":"x","power":2},{"arg":"y","power":1},{"arg":"z","power":-1}]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/log-expand", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"mode": "expand",
"terms": [
{
"arg": "x",
"power": 2
},
{
"arg": "y",
"power": 1
},
{
"arg": "z",
"power": -1
}
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.log_expand",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_terms | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Gli argomenti numerici nulli o negativi sono rifiutati con invalid_input perché escono dal dominio del logaritmo reale. Il percorso è riscrittura deterministica pura —senza rete, senza semi casuali, senza orologio— così l'esecutore gratuito del browser e l'API prepagata restituiscono lo stesso JSON ogni volta.
Come chiamare l'API e cosa torna indietro
In modalità expand i termini sono fattori dentro un solo logaritmo: arg elevato a power moltiplica dentro il log, e potenze negative diventano fattori di quoziente. In modalità condense gli stessi campi significano power per log di arg in una somma che collassa in un log. Invii un corpo JSON con mode obbligatorio su expand o condense, base opzionale come stringa o numero, e terms obbligatorio come array non vuoto di oggetti. Ogni termine richiede arg, un numero positivo o un simbolo semplice come x o a1, e può includere power (alias coeff, coefficient, exp, n) con predefinito uno. Si accettano alias mode operation e action, base log_base e radix, e terms factors e parts. In successo la risposta include mode, base, base_label come ln o log_10, input_expression, result_expression, un array terms con coeff, arg e stringhe di espressione per termine, laws_applied che elenca power product quotient o identity, steps ordinati e un message breve. Validazione fallita —mode o terms assenti, terms vuoto, più di trentadue termini, base non valida uno o non positiva, potenze non finite o argomento numerico non positivo— restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è un fisso $0.002 per richiesta riuscita con unità item e prezzo marginale unitario zero.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Nell'insegnamento, abbini esempi: espanda log_10 di x al quadrato per y su z in due log_10 x più log_10 y meno log_10 z; condensi due ln a più ln b in ln di a al quadrato per b; e invii deliberatamente arg meno tre per mostrare il percorso duro invalid_input su argomenti non positivi. Le attività fallite con invalid_input non consumano saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli apprendisti sondano il dominio. I controlli andata e ritorno sono semplici: espandere poi condensare con la stessa base e terms dovrebbe recuperare una forma prodotto equivalente, e l'elenco laws_applied dovrebbe menzionare ogni identità attesa per ingressi multi-fattore a segni misti.
Casi di integrazione
Controllo compiti sulle riscritture logaritmiche
Gli studenti inseriscono fattori con potenze e confrontano passi manoscritti di espandere o condensare con un result_expression e elenco laws_applied deterministici prima di consegnare.
Chiavi di risposta per docenti
Costruisca chiavi che mostrino input_expression, result_expression e passi ordinati per esercizi di prodotto, quoziente e potenza su ln, log_10 e log generico.
Domande tecniche
Perché gli argomenti devono essere positivi?
Sui reali, log_b(x) è definito solo per x > 0 (con base b > 0, b ≠ 1). Argomenti numerici nulli o negativi restituiscono invalid_input invece di un valore complesso.