Hyperbolischer Sinus des Doppelarguments
Werten Sie sinh(2x) aus und sehen Sie, woraus es entsteht: Bei 0 ist das Ergebnis 0, denn sinh(0) ist 0 und cosh(0) ist 1. Beide Faktoren werden gezeigt, zu große Werte werden abgelehnt statt als unendlich angezeigt. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- X
- 0,5
- Sinh x
- 0,5210953055
- Cosh x
- 1,1276259652
- Sinh 2x
- 1,1752011936
Der Rechner für den hyperbolischen Sinus des Doppelarguments bestimmt sinh(2x) aus einem reellen Argument mithilfe der Identität sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x). Er gibt die normalisierte Eingabe, die beiden im Produkt verwendeten hyperbolischen Werte und das numerische Endergebnis zurück. So erhalten Sie nicht nur eine Antwort, sondern können auch die Algebra prüfen und die Zwischenschritte nachvollziehen. Die Eingabe muss endlich sein; Berechnungen außerhalb des endlichen Zahlenbereichs werden abgewiesen, statt einen unbrauchbaren unendlichen Wert zu liefern.
Geben Sie das reelle Argument x ein
Tragen Sie genau eine endliche reelle Zahl in das Feld x ein. Das Argument ist dimensionslos: Eine Wahl zwischen Grad und Bogenmaß ist nicht nötig, da hyperbolische Funktionen durch Exponentialausdrücke und nicht durch kreisförmige Winkelmaße definiert werden. Positive, negative, gebrochene Werte und null werden unterstützt.
Nach der Prüfung normalisiert der Rechner den eingegebenen Wert als Zahl und gibt ihn im Feld x zurück. Bei einem negativen Argument ist sinh(x) negativ, während cosh(x) positiv bleibt; deshalb ist auch das Endergebnis negativ. An diesen Grundfällen können Sie Vorzeichen und Symmetrie schnell überprüfen.
Verfolgen Sie die Doppelargument-Identität
Der Löser berechnet zunächst sinh(x) und cosh(x) und multipliziert sie anschließend gemäß sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x). Dies ist eine hyperbolische Identität und nicht die gewöhnliche Sinusidentität sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), auch wenn beide Schreibweisen ähnlich aussehen. Der hyperbolische Sinus lässt sich als (e^x - e^-x) / 2 definieren, der hyperbolische Kosinus als (e^x + e^-x) / 2.
Werden diese Definitionen multipliziert und wird das Produkt verdoppelt, entsteht (e^(2x) - e^(-2x)) / 2 und damit genau sinh(2x). Zusätzlich nennt sie die angewandte Formel. Fließkommaarithmetik kann die in numerischer Software üblichen kleinen Darstellungsabweichungen erzeugen; beurteilen Sie das Ergebnis daher mit einer für Ihre Anwendung passenden Genauigkeit.
Der Rechner rundet nicht willkürlich, sodass jeder Client seine eigene Toleranz oder Regel für signifikante Stellen festlegen kann.
Deuten Sie endliche Ergebnisse und Bereichsfehler
Der Faktor cosh(x) ist wesentlich und führt im Allgemeinen zu unterschiedlichen Größen. Da hyperbolische Funktionen exponentiell wachsen, überschreiten hinreichend große positive oder negative Argumente den endlichen Bereich doppelt genauer Zahlen. Bei gewöhnlichen Eingaben innerhalb des Bereichs arbeitet die Berechnung deterministisch und benötigt weder Netzwerk noch gespeicherten Zustand, Zufall oder aktuelle Uhrzeit.
Verwenden Sie die Zwischenfelder, um eine Herleitung zu prüfen, eine numerische Bibliothek zu vergleichen oder einen nachvollziehbaren Folgeschritt zu speisen. Bei extremen Größen können logarithmische Darstellungen oder Mathematik mit beliebiger Genauigkeit geeigneter sein.
Anwendungsfälle
Eine Aufgabe zu hyperbolischen Identitäten prüfen
Vergleichen Sie eine handschriftliche Auswertung von 2 sinh(x) cosh(x) mit den ausgegebenen Faktoren und dem Ergebnis.
Numerische Software validieren
Testen Sie eine sinh-Doppelargument-Implementierung innerhalb des Fließkommabereichs mit deterministischen Referenzwerten.
Einen nachvollziehbaren Rechenschritt erstellen
Übernehmen Sie sinh(x), cosh(x) und sinh(2x) in einen mathematischen oder technischen Ablauf, ohne die Identität zu verbergen.
Häufige Fragen
Welche Formel verwendet der Rechner?
Er verwendet die Identität sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x).
Wird x in Grad oder Bogenmaß angegeben?
Eine solche Wahl ist nicht nötig. Hyperbolische Funktionen erhalten ein dimensionsloses reelles Argument und keine Winkeleinheit.
Darf x negativ oder null sein?
Ja. Jede endliche reelle Zahl ist zulässig, solange die Zwischenwerte und das Ergebnis endlich bleiben.
Warum kann eine große endliche Eingabe einen Fehler auslösen?
Hyperbolische Funktionen wachsen exponentiell, sodass ein großes Argument den Bereich der doppelten Genauigkeit überschreiten kann.
Ist sinh(2x) dasselbe wie das Doppelte von sinh(x)?
Nein. Die Formel multipliziert das Doppelte von sinh(x) mit cosh(x), und dieser zusätzliche Faktor macht die beiden Ergebnisse in der Regel verschieden. Nur bei null stimmen sie überein, weil cosh(0) eins ist.
Worin unterscheidet sich sinh(2x) von sin(2x)?
Beide Formeln sehen ähnlich aus, doch die erste ist hyperbolisch und beruht auf Exponentialfunktionen, nicht auf einer Winkelmessung. Deshalb geben Sie die Zahl weder in Grad noch im Bogenmaß an.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/sinh-double-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/sinh-double-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/sinh-double-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/sinh-double-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/sinh-double-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x": 0.5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.sinh_double_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie das reelle Argument x ein
Die API akzeptiert außerdem die deklarierten Aliasse argument und value, obwohl x für Formeln und generierte Clienttypen am verständlichsten ist. Leerer oder nicht numerischer Text, NaN sowie positive und negative Unendlichkeit führen zu einem invalid_input-Fehler. Diese strenge Behandlung verhindert, dass ein nicht endlicher Wert unbemerkt spätere Rechenschritte beeinträchtigt. Für x = 0 ergeben beide Seiten der Identität null: sinh(0) ist null, cosh(0) ist eins und das verdoppelte Produkt ist null.
Verfolgen Sie die Doppelargument-Identität
Die Antwort zeigt sinh_x und cosh_x, damit Sie beide Faktoren prüfen können und nicht nur einen unerklärten Endwert erhalten.
Deuten Sie endliche Ergebnisse und Bereichsfehler
Lesen Sie sinh_double_x als sinh(2x) und nicht als 2 sinh(x). Der Rechner prüft sinh(x), cosh(x) sowie das Endprodukt und meldet invalid_input, sobald ein benötigter Wert nicht endlich ist. Das ist zuverlässiger als Infinity, das kein gültiges JSON darstellt und in einem nachfolgenden numerischen Ablauf kaum nützt. Derselbe reine Löser dient der API und dem Browser. Automatisierte API-Aufrufe kosten den veröffentlichten Grundpreis von $0.002 je Anfrage; für schnelle interaktive Prüfungen eignet sich der Browser.
Technische Fragen
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jede API-Anfrage nutzt den veröffentlichten Grundpreis von $0.002. Die Berechnung ist auch im Browser möglich.