Gudermann-Funktion-Rechner
gd(1) beträgt etwa 0,8657694832396585 im Bogenmaß oder 49,6049374208547°, also den Winkel, dessen Tangens sinh(1) entspricht. Die Gudermann-Funktion macht aus jeder reellen Zahl einen gewöhnlichen Winkel, ganz ohne komplexe Zahlen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- X
- 1
- Gudermann-Funktion (rad)
- 0,8657694832
- Gudermann-Funktion (°)
- 49,6049374209
Die Gudermann-Funktion verbindet hyperbolische Funktionen mit der gewöhnlichen Kreistrigonometrie, ohne komplexe Zahlen einzuführen. Geben Sie einen endlichen reellen Wert x ein; Sie erhalten gd(x) sowohl in Radiant als auch in Grad. Der Ergebniswinkel erfüllt tan(gd(x)) = sinh(x), während gleichwertige Identitäten seinen Sinus und Kosinus mit tanh(x) und sech(x) verbinden. Damit können Sie Formeln prüfen, spezielle Funktionen untersuchen und hyperbolische Beschreibungen durch eine klare, deterministische Berechnung in Winkel überführen.
Verstehen Sie die Bedeutung der Gudermann-Funktion
Die meist als gd(x) geschriebene Gudermann-Funktion bildet jede reelle Zahl auf einen Winkel ab, der strikt zwischen minus pi halbe und plus pi halbe liegt. Die zentrale Beziehung lautet tan(gd(x)) = sinh(x): Das Ergebnis ist der reelle Hauptwinkel, dessen Tangens dem Sinus hyperbolicus der Eingabe entspricht. Auch sin(gd(x)) = tanh(x), cos(gd(x)) = sech(x) und gd(x) = atan(sinh(x)) zeigen diese Brücke, ohne komplexe Argumente zu benötigen.
Die Funktion ist ungerade, also gilt gd(-x) = -gd(x), und wegen gd(0) = 0 verläuft sie durch den Ursprung. Für wachsendes positives x nähert sich der Wert neunzig Grad, ohne sie zu erreichen; in negativer Richtung nähert er sich minus neunzig Grad. Die Antwort enthält Radiant, Grad, die normalisierte Eingabe und die stabile Auswertungsformel.
Geben Sie einen reellen Wert ein und deuten Sie den Winkel
Senden Sie genau eine endliche reelle Zahl im Feld x. Der Rechner verwendet 2 atan(tanh(x/2)). Positive Eingaben liefern positive Ergebnisse, negative kehren das Vorzeichen um.
Nahe null ähnelt gd(x) dem Wert x, bei großen Beträgen flacht die Kurve gegen ihre Grenzen ab. Das Feld formula dokumentiert den Rechenweg für Prüfungen, Unterricht und reproduzierbare Tests.
Nutzen Sie das Ergebnis in Mathematik, Lehre und Software
Verwenden Sie diesen Rechner, wenn eine hyperbolische Größe als gewöhnlicher reeller Winkel ausgedrückt werden soll. Lernende können das Resultat bei mäßigem x mit atan(sinh(x)) vergleichen oder prüfen, ob sein Sinus tanh(x) entspricht. Lehrkräfte können deterministische Beispiele zu ungerader Symmetrie, Grenzwerten und der Beziehung zwischen Tangens und Sinus hyperbolicus erstellen.
Netzwerk, Zufall, Uhrzeit, gespeicherter Zustand, Sprachmodelle und externe Rechendienste werden nicht verwendet. Die Ergebnisse beruhen auf doppelter Genauigkeit und sollten mit passender Toleranz verglichen werden. Berechnet wird nur die reelle Gudermann-Funktion, nicht ihre komplexe Erweiterung, beliebige Präzision, symbolische Vereinfachung, Ableitung oder Umkehrfunktion.
Anwendungsfälle
Eine Aufgabe zu speziellen Funktionen prüfen
Berechnen Sie gd(x) in Radiant und Grad und überprüfen Sie die Verbindung zu sinh, tanh oder zum Hauptwinkel des Tangens.
Deterministische numerische Tests erstellen
Nutzen Sie stabile strukturierte Ergebnisse als Testdaten für eine Mathematikbibliothek oder eine Umsetzung der Gudermann-Identität.
Hyperbolische Werte mit Winkeln verbinden
Wandeln Sie einen reellen hyperbolischen Parameter ohne komplexe Arithmetik in den zugehörigen Kreiswinkel um.
Häufige Fragen
Was ist die Gudermann-Funktion?
Sie ist eine reelle Verbindung zwischen hyperbolischer und Kreistrigonometrie; insbesondere gilt tan(gd(x)) = sinh(x).
Warum wird 2 atan(tanh(x/2)) statt atan(sinh(x)) verwendet?
Beide Formeln sind für reelles x gleichwertig, doch die tanh-Form vermeidet Überlauf, wenn sinh(x) die doppelte Genauigkeit überschreiten würde.
Welche Eingaben werden akzeptiert?
Jede endliche reelle Zahl wird über x oder seine Aliase akzeptiert; fehlende, leere, nicht numerische und nicht endliche Werte werden abgelehnt.
Welchen Wert hat gd(1)?
Etwa 0,8657694832396585 im Bogenmaß oder 49,6049374208547 Grad. Das ist der Winkel, dessen Tangens dem Sinus hyperbolicus von 1 entspricht und dessen Sinus dem Tangens hyperbolicus von 1.
Welche Werte kann die Gudermann-Funktion annehmen?
Jedes Ergebnis liegt echt zwischen minus und plus einem rechten Winkel. Große positive Eingaben nähern sich neunzig Grad, ohne sie zu erreichen, große negative minus neunzig Grad, und gd(0) ist 0.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/gudermannian \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/gudermannian", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"x": 1
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/gudermannian",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 1
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/gudermannian", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/gudermannian", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x": 1
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.gudermannian",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie einen reellen Wert ein und deuten Sie den Winkel
Numerische Zeichenketten nach Entfernen äußerer Leerzeichen sowie die Aliase value und argument werden ebenfalls akzeptiert. Leerer oder nicht numerischer Text, NaN, Unendlichkeiten, Arrays und fehlende Werte führen zu invalid_input statt zu irreführendem JSON. Diese Formel ist zu atan(sinh(x)) äquivalent, bleibt aber bei sehr großen endlichen Eingaben stabil, wenn der direkte Sinus hyperbolicus den Bereich der doppelten Genauigkeit überschreiten könnte. gudermannian_radians enthält den Hauptwinkel in Radiant; gudermannian_degrees enthält denselben Winkel, multipliziert mit 180/pi.
Nutzen Sie das Ergebnis in Mathematik, Lehre und Software
Entwickler können die API aufrufen, wenn eine numerische Pipeline, ein Geometriewerkzeug oder eine Testsuite strukturiertes JSON benötigt. Jede erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002; der Browser eignet sich für interaktive Kontrollen.
Technische Fragen
Gibt der Rechner Radiant oder Grad aus?
Jede erfolgreiche Antwort enthält gudermannian_radians und gudermannian_degrees.
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jede erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002. Sie können den Rechner auch interaktiv im Browser verwenden.