Defiziente Zahl anhand ihrer echten Teilersumme prüfen

Bei einer defizienten Zahl ist die Summe der echten Teiler kleiner als die Zahl selbst. Dieses Prüfwerkzeug nimmt eine positive ganze Zahl entgegen, berechnet die Summe aller positiven Teiler unterhalb dieser Zahl und gibt sowohl die Summe als auch ein eindeutiges Wahr-oder-falsch-Ergebnis zurück. Der Sonderfall eins mit seiner leeren Menge echter Teiler wird ohne Näherung korrekt behandelt.

Wann eine Zahl defizient ist

Ein echter Teiler von n ist eine positive ganze Zahl, die n ohne Rest teilt und strikt kleiner als n ist. Eine Zahl heißt defizient, wenn die Summe dieser Teiler unter n liegt. Die echten Teiler von fünfzehn sind beispielsweise eins, drei und fünf.

Ihre Summe ist neun; fünfzehn ist somit defizient, weil neun kleiner als fünfzehn ist. Auch jede Primzahl ist defizient, denn ihr einziger echter Teiler ist eins. Für den Wert eins gilt eine wichtige Konvention.

Eins besitzt keine positiven echten Teiler, daher ist die Summe der leeren Teilermenge null. Weil null kleiner als eins ist, meldet das Werkzeug eins als defizient. Der Vergleich ist strikt.

Entspricht die Teilersumme der Zahl, ist sie vollkommen und nicht defizient; übersteigt die Summe die Zahl, ist sie abundant. Sie erhalten also nicht nur eine unbelegte Einstufung, sondern auch die zugrunde liegende Rechnung. Damit dient der Endpunkt zugleich als Rechner und transparente Referenz.

So wird die Summe berechnet

Der Algorithmus prüft mögliche Teiler nur bis zur Quadratwurzel von n. Sobald er einen Teiler findet, addiert er diesen und den zugehörigen Quotienten. Wird etwa drei als Teiler von dreißig gefunden, ist damit auch zehn bekannt, weil drei mal zehn dreißig ergibt.

Bei einer Quadratzahl wird die Wurzel nur einmal addiert, damit sie nicht doppelt zählt. Für jedes n größer als eins beginnt die Summe mit eins, da eins jede positive ganze Zahl teilt; n selbst wird niemals aufgenommen, weil ausschließlich echte Teiler gesucht werden. Diese paarweise Suche liefert eine exakte Ganzzahlsumme und nutzt weder Zufallsstichproben noch Gleitkommanäherungen, Uhrzeit, externe Dienste oder gespeicherten Zustand.

Numerische Zeichenketten ausschließlich aus Dezimalziffern sind zulässig; Brüche, Vorzeichen, wissenschaftliche Schreibweise, fehlende Werte und nichtnumerischer Text werden abgelehnt. Die veröffentlichte Obergrenze hält die Wurzelsuche für die schlanke Engine geeignet.

Das Ergebnis in Unterricht und Software verwenden

Wahr bedeutet, dass die Summe strikt unter n liegt; falsch bedeutet, dass die Zahl vollkommen oder abundant ist. Um diese beiden Fälle zu unterscheiden, vergleichen Sie die zurückgegebene Summe mit n: Gleichheit kennzeichnet eine vollkommene Zahl, eine größere Summe eine abundante Zahl. Auch Behauptungen in Texten oder Rätsellösungen lassen sich prüfen, da die begründende Summe neben dem booleschen Ergebnis steht.

Verwenden Sie den Endpunkt innerhalb seiner angegebenen Grenze als exakten Prüfer, nicht als Faktorisierungsdienst für kryptografisch große Zahlen. Bei Stapeln rufen Sie ihn einmal je Element auf und speichern Antwort und Ursprung gemeinsam.