Aliquotfolge-Rechner

Eine Aliquotfolge beginnt mit einer positiven ganzen Zahl und ersetzt jeden aktuellen Wert durch die Summe seiner positiven echten Teiler. Dieser Rechner führt die Iteration deterministisch aus, gibt alle erreichten Werte aus und stoppt beim ausgeschöpften Schrittlimit, bei null oder bei einer Wiederholung. Eine feste Sicherheitsgrenze schützt vor unerwartet großen Zwischenwerten und ermöglicht reproduzierbare Ergebnisse für Experimente, Unterricht und Prüfabläufe.

So entsteht eine Aliquotfolge

Eine Aliquotfolge beginnt mit einer positiven ganzen Zahl. In jedem Schritt wird das aktuelle Glied durch die Summe seiner echten Teiler ersetzt, also aller positiven Teiler, die kleiner als die Zahl selbst sind. Die echten Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4 und 6, das nächste Glied ist also 16. Die echten Teiler von 16 sind 1, 2, 4 und 8, daraus folgt 15. So geht es weiter über 9, 4, 3 und 1 bis zur Null. Die Startzahl steht immer an erster Stelle, und das Limit zählt die Übergänge, nicht die angezeigten Werte: Bei einem Limit von 10 sehen Sie höchstens 11 Einträge.

Wann die Folge endet und worauf Sie achten sollten

Die Rechnung hält aus drei Gründen an. Erreicht die Folge null, ist sie zu Ende, denn die Zahl 1 hat keine echten Teiler. Taucht ein Wert erneut auf, liegt ein Zyklus vor; vollkommene Zahlen wie 6 wiederholen sich sofort. Andernfalls endet sie, wenn Ihr Schrittlimit verbraucht ist. Ein häufiger Fehler beim Nachrechnen von Hand ist, die Zahl selbst zu ihren Teilern zu zählen. Ein anderer ist, die Startzahl als ersten Schritt mitzuzählen. Jedes Glied muss außerdem unter einer Billion bleiben; ein größerer Wert wird nie gerundet oder gekürzt, sondern die Rechnung bricht mit einem Hinweis ab.

Startwert wählen und Übergänge verstehen

Der Startwert steht immer an erster Stelle. Jeder Übergang ersetzt den letzten Wert durch seine Aliquotsumme, also die Summe aller positiven Teiler, die kleiner als die Zahl selbst sind. Die echten Teiler von 12 lauten etwa 1, 2, 3, 4 und 6; daraus folgt 16.

Bei 16 sind es 1, 2, 4 und 8, weshalb anschließend 15 entsteht. Das Limit zählt Übergänge statt angezeigter Werte: Zehn Schritte liefern höchstens elf Folgenglieder. Eine Abbruchbedingung kann die Liste verkürzen.

Diese Festlegung macht den Rechenaufwand eindeutig und erleichtert Vergleiche mit Handrechnungen, Aufgaben oder anderer Software.

Große Werte sicher und reproduzierbar behandeln

Der Startwert darf die veröffentlichte Sicherheitsgrenze von einer Billion nicht überschreiten. Auch jeder erzeugte Wert wird vor der Aufnahme geprüft. Überschreitet eine zwischenzeitliche Aliquotsumme diese Grenze, liefert die Anfrage einen Fehler wegen ungültiger Eingabe und nennt den betroffenen Übergang.

Der Rechner kürzt und rundet nicht und ersetzt keine Werte unbemerkt, denn dadurch würde die Folge mathematisch falsch. Die Summen entstehen durch deterministische Ganzzahlfaktorisierung und die multiplikative Teilersummenformel. Beginnen Sie bei unbekannten Startwerten mit wenigen Schritten und erhöhen Sie das Limit erst bei handhabbaren Werten.