Calcolatore del punto di sella

Un punto di sella in un gioco a somma zero a due giocatori è una cella della matrice di payoff che è al tempo stesso il minimo della propria riga e il massimo della propria colonna. Quando tale cella esiste, il giocatore di riga può garantire il valore del gioco giocando quella riga, il giocatore di colonna può trattenerlo a quel medesimo valore giocando quella colonna, e la coppia di strategie pure è un equilibrio di Nash. Studenti, tutor e autori di esami necessitano di un controllo rapido che il maximin eguagli il minimax, più l'elenco di ogni cella di sella, senza confondere minimi di riga e massimi di colonna. Questo calcolatore del punto di sella nella teoria dei giochi accetta una matrice di payoff rettangolare del giocatore di riga, calcola ogni minimo di riga e ogni massimo di colonna, confronta i livelli di sicurezza maximin e minimax, e indica se esiste una soluzione in strategia pura.

Che cos'è un punto di sella e perché maximin eguaglia minimax

In un gioco a somma zero a due giocatori, quello di riga sceglie una riga della matrice di payoff e quello di colonna una colonna; la cella selezionata è l'importo che il secondo versa al primo, oppure l'utilità del giocatore di riga quando la tavola è già scritta in quella convenzione. Un punto di sella è una cella che è al tempo stesso la voce più piccola della propria riga e la più grande della propria colonna.

Il giocatore di riga, che vuole un payoff elevato, può garantire almeno il massimo tra i minimi di riga — il valore maximin — giocando una riga che attinge quel massimo. Il giocatore di colonna, che vuole quel payoff piccolo, può trattenere l'esito al più al minimo tra i massimi di colonna — il valore minimax — giocando una colonna che attinge quel minimo. Quei due livelli di sicurezza soddisfano sempre maximin minore o uguale a minimax.

Sono uguali se e solo se esiste almeno una cella di sella, e allora ogni cella di sella porta quel numero comune, che è il valore del gioco in strategie pure. La coppia di azioni corrispondente è un equilibrio di Nash: il giocatore di riga non può alzare il payoff cambiando riga contro la colonna di sella, e quello di colonna non può abbassarlo cambiando colonna contro la riga di sella.

Le tavole da manuale tre per tre hanno spesso una sella unica; alcune matrici hanno più celle che condividono lo stesso valore e formano un rettangolo combinatorio di equilibri; il gioco delle monete abbinate non ne ha alcuna, perché il maximin vale meno uno mentre il minimax vale più uno. Individuare ogni sella, o dimostrare che non ne esiste nessuna, è dunque il primo passo pienamente algebrico prima di passare alle strategie miste.

Dove un calcolatore del punto di sella merita il posto

I corsi introduttivi di teoria dei giochi assegnano esercizi sul punto di sella perché maximin contro minimax è la prima competenza concreta di equilibrio prima delle strategie miste e dei grafici di migliore risposta. Le piattaforme di tutoraggio e i correttori automatici LMS necessitano di un oracolo deterministico che elenchi ogni cella di sella, o segnali che non ne esiste nessuna, invece di un foglio di calcolo che tratti in silenzio un quasi pareggio come uguaglianza.

I docenti che costruiscono banche di esercizi vogliono la stessa tavola da manuale tre per tre che gli studenti risolvono a mano — minimi di riga uno, tre e zero, maximin tre, massimi di colonna quattro, tre e cinque, minimax tre, sella in riga due colonna due — e vogliono che il gioco delle monete abbinate torni come un esito pulito senza sella che motivi la lezione sulle strategie miste.

Fissi nei test la matrice eco e l'elenco ordinato delle selle, tenga voci finite e la forma entro il limite sedici per sedici, e ottiene soluzioni riproducibili in strategia pura per compiti, generatori d'esame e note leggere di organizzazione industriale senza erigere un risolutore completo di teoria dei giochi. Abbini questa capacità a uno strumento di strategia mista quando il maximin è strettamente minore del minimax; tenga questa incentrata sulla cella in cui un minimo di riga eguaglia un massimo di colonna.