Calculateur de point de selle
Dans la matrice aux lignes (3, 1, 2), (4, 3, 5) et (2, 0, 4), la case centrale 3 est à la fois le minimum de sa ligne et le maximum de sa colonne : le jeu a un point de selle de valeur 3. Gratuit dans votre navigateur.
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Un point de selle dans un jeu à somme nulle à deux joueurs est une case de la matrice de gains qui est à la fois le minimum de sa ligne et le maximum de sa colonne. Lorsqu'une telle case existe, le joueur des lignes peut garantir la valeur du jeu en jouant cette ligne, le joueur des colonnes peut le retenir à cette même valeur en jouant cette colonne, et la paire de stratégies pures est un équilibre de Nash. Étudiants, tuteurs et auteurs d'examens ont besoin d'une vérification rapide que le maximin égale le minimax, plus la liste de chaque case-selle, sans confondre minima de ligne et maxima de colonne. Ce calculateur de point de selle en théorie des jeux accepte une matrice de gains rectangulaire du joueur des lignes, calcule chaque minimum de ligne et chaque maximum de colonne, compare les niveaux de sécurité maximin et minimax, et indique si une solution en stratégie pure existe.
Ce qu'est un point de selle et pourquoi maximin égale minimax
Dans un jeu à somme nulle à deux joueurs, celui des lignes choisit une ligne de la matrice de gains et celui des colonnes une colonne ; la case retenue est le montant que le second verse au premier, ou l'utilité du joueur des lignes lorsque la table est déjà écrite selon cette convention. Un point de selle est une case qui est à la fois l'entrée la plus petite de sa ligne et la plus grande de sa colonne.
Le joueur des lignes, qui veut un gain élevé, peut garantir au moins le maximum parmi les minima de ligne — la valeur maximin — en jouant une ligne qui atteint ce maximum. Le joueur des colonnes, qui veut que ce gain soit petit, peut retenir le résultat au plus au minimum parmi les maxima de colonne — la valeur minimax — en jouant une colonne qui atteint ce minimum. Ces deux niveaux de sécurité satisfont toujours maximin inférieur ou égal à minimax.
Ils sont égaux si et seulement s'il existe au moins une case-selle, et alors chaque case-selle porte ce nombre commun, qui est la valeur du jeu en stratégies pures. La paire d'actions correspondante est un équilibre de Nash : le joueur des lignes ne peut pas augmenter le gain en changeant de ligne face à la colonne-selle, et celui des colonnes ne peut pas le baisser en changeant de colonne face à la ligne-selle.
Les tables de manuel trois par trois ont souvent une selle unique ; certaines matrices ont plusieurs cases qui partagent la même valeur et forment un rectangle combinatoire d'équilibres ; le jeu des pièces appariées n'en a aucune, parce que le maximin vaut moins un tandis que le minimax vaut plus un. Repérer chaque selle, ou prouver qu'il n'y en a aucune, est donc la première étape pleinement algébrique avant de passer aux stratégies mixtes.
Où un calculateur de point de selle rend service
Les cours d'introduction à la théorie des jeux donnent des exercices de point de selle parce que maximin versus minimax est la première compétence concrète d'équilibre avant les stratégies mixtes et les graphes de meilleure réponse. Les plateformes de tutorat et les correcteurs automatiques LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui liste chaque case-selle, ou signale qu'il n'y en a aucune, plutôt qu'un tableur qui traite en silence un quasi-ex aequo comme une égalité.
Les enseignants qui construisent des banques d'exercices veulent la même table de manuel trois par trois que les élèves traitent à la main — minima de ligne un, trois et zéro, maximin trois, maxima de colonne quatre, trois et cinq, minimax trois, selle en ligne deux colonne deux — et veulent que le jeu des pièces appariées revienne comme un résultat net sans selle qui motive le cours sur les stratégies mixtes.
Les carnets de recherche opérationnelle qui résolvent encore de petits modèles à somme nulle en stratégies pures peuvent appeler ce point d'accès au lieu d'écrire une autre boucle min-max. Épinglez dans les tests la matrice renvoyée et la liste ordonnée des selles, gardez des entrées finies et la forme dans la limite seize par seize, et vous obtenez des solutions reproductibles en stratégie pure pour devoirs, générateurs d'examens et notes légères d'organisation industrielle sans dresser un solveur complet de théorie des jeux.
Associez cette capacité à un outil de stratégie mixte lorsque le maximin est strictement inférieur au minimax ; gardez celle-ci centrée sur la case où un minimum de ligne égale un maximum de colonne.
Cas d’usage
Contrôles de point de selle pour devoirs et examens
Les élèves saisissent une matrice de gains et vérifient maximin, minimax et chaque case-selle face à la méthode du manuel minimum-de-ligne / maximum-de-colonne.
Correction automatique LMS et tutorat
Notez des items à somme nulle en stratégie pure avec un oracle déterministe qui liste les selles ou signale qu'il n'y en a aucune, sans inventer de probabilités mixtes.
Petits modèles à somme nulle dans les carnets
Résolvez en stratégies pures une table compacte de recherche opérationnelle ou d'organisation industrielle avant de passer à un solveur mixte.
Questions fréquentes
Comment trouver un point de selle dans une matrice de jeu ?
Envoyez payoff comme un tableau rectangulaire de nombres finis (au moins 2×2).
Que se passe-t-il si le maximin n'égale pas le minimax ?
Alors le jeu n'a pas de point de selle en stratégies pures.
Un jeu peut-il avoir plus d'un point de selle ?
Oui. Toute case-selle a le même gain (la valeur du jeu).
Les indices de ligne et de colonne commencent-ils à zéro ou à un ?
À un, comme les numéros de stratégie des manuels. La première ligne est la ligne 1 et la première colonne est la colonne 1. Les messages de validation utilisent la même numérotation.
Qu'est-ce que la valeur du jeu ?
C'est le gain que le joueur en ligne peut s'assurer et auquel le joueur en colonne peut le limiter quand un point de selle existe. Dans cet exemple, maximin et minimax valent 3 : la valeur du jeu en stratégies pures est 3.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
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[
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1,
2
],
[
4,
3,
5
],
[
2,
0,
4
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"payoff": [
[
3,
1,
2
],
[
4,
3,
5
],
[
2,
0,
4
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"payoff": [
[
3,
1,
2
],
[
4,
3,
5
],
[
2,
0,
4
]
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "econ.saddle_point_game",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_rows | 16 |
max_cols | 16 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Contrat d'entrée, le balayage min-max et la lecture du résultat
Chaque tableau interne est une stratégie pure du joueur des lignes ; chaque position dans la ligne est le gain contre une stratégie pure du joueur des colonnes. Des lignes de longueurs inégales échouent parce que la matrice ne serait pas rectangulaire. Les cases non finies, y compris NaN et les infinis, échouent avec un message qui nomme la ligne et la colonne en indices base un. Sur une matrice valide, le solveur parcourt chaque ligne pour son minimum et chaque colonne pour son maximum, puis fixe maximin au plus grand minimum de ligne et minimax au plus petit maximum de colonne. Une case est une selle lorsque son gain égale à la fois son minimum de ligne et son maximum de colonne ; ces cases sont listées en ordre par lignes avec des indices de ligne et de colonne base un. Les nombres sont nettoyés du zéro négatif et de la poussière flottante pour des goldens stables entre runtimes. Envoyez par POST un corps JSON avec un champ obligatoire, payoff : un tableau rectangulaire de lignes de nombres finis, au moins deux par deux et au plus seize par seize. Le gestionnaire accepte aussi les alias matrix, payoffs, a et game, ainsi qu'une chaîne JSON qui s'analyse en le même tableau imbriqué. Une entrée manquante, vide ou non tableau échoue avec invalid_input en nommant payoff. Lorsque la liste n'est pas vide, has_saddle_point vaut true, game_value égale le gain commun de selle, et row_strategy avec col_strategy indiquent la première selle comme solution commode en stratégie pure. Lorsque la liste est vide, has_saddle_point vaut false et ces trois champs optionnels sont omis plutôt que mis à null. La réponse renvoie aussi rows, columns, payoff, row_mins, col_maxs, maximin, minimax, saddle_count et une courte chaîne formula. Les appels parse réussis utilisent le prix de base publié $0.002 par item ; les échecs de validation ne sont pas facturés.
Où un calculateur de point de selle rend service
Comme l'implémentation est du code analytique parse de niveau A, chaque appel réussi reste bon marché à $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Combien coûte le calculateur de point de selle en théorie des jeux ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.