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鞍点ゲーム理論計算機

Q: 一つのゲームに鞍点が複数ありますか？

あります。 すべての鞍点セルは同じ利得（ゲームの値）を持ちます。

行が（3, 1, 2）（4, 3, 5）（2, 0, 4）の行列では、中央の3が行の最小かつ列の最大なので、値3の鞍点があります。純粋戦略の解をすぐに確認できます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

二人零和ゲームの鞍点とは、利得行列のセルのうち、その行の最小かつその列の最大である位置です。そのようなセルがあれば、行プレイヤーはその行を選んでゲームの値を保証でき、列プレイヤーはその列を選んで同じ値に抑えられ、その純戦略の組はナッシュ均衡になります。学生・チューター・試験作成者は、maximin が minimax に等しいことの速い確認と、すべての鞍点セルの一覧を、行最小と列最大を取り違えずに必要とします。本鞍点ゲーム理論計算機は行プレイヤーの長方形利得行列を受け取り、各行最小と各列最大を計算し、maximin と minimax の安全水準を比べ、純戦略解があるかを報告します。maximin と minimax の差は、混合戦略だけがゲームを解くことを示します。

鞍点とは何か、maximin が minimax に等しい理由

二人零和ゲームでは、行プレイヤーが利得行列の行を選び、列プレイヤーが列を選びます。選ばれたセルは、列プレイヤーが行プレイヤーに払う額、あるいはその規約ですでに書かれた表における行プレイヤーの効用です。鞍点とは、その行で最も小さく、その列で最も大きいセルです。

大きな利得を望む行プレイヤーは、行最小の最大 — maximin 値 — を、その最大を達成する行を選ぶことで少なくとも保証できます。その利得を小さくしたい列プレイヤーは、列最大の最小 — minimax 値 — を、その最小を達成する列を選ぶことで高々そこに抑えられます。この二つの安全水準は常に maximin が minimax 以下を満たします。

両者が等しいのは鞍点セルが少なくとも一つ存在するときに限られ、そのときすべての鞍点セルは同じ数、すなわち純戦略でのゲームの値を持ちます。対応する行動の組はナッシュ均衡です。行プレイヤーは鞍点列に対して行を変えて利得を上げられず、列プレイヤーは鞍点行に対して列を変えて利得を下げられません。

教科書の3×3表には一意の鞍点が多いです。同じ値を共有する複数セルが均衡の組合せ的長方形をなす行列もあります。マッチングペニーにはありません。

maximin がマイナス1、minimax がプラス1だからです。すべての鞍点を探すこと、あるいは存在しないことを示すことが、混合戦略に進む前の最初の完全に代数的な一歩です。

鞍点ゲーム理論計算機が役立つ場面

入門のゲーム理論の授業が鞍点の演習を出すのは、maximin 対 minimax が混合戦略や最適反応グラフの前に来る最初の具体的な均衡技能だからです。学習支援基盤と LMS の自動採点は、すべての鞍点セルを列挙するか存在しないと報告する決定的な神託を必要とし、ほぼ同点を黙って等式扱いする表計算では足りません。

問題バンクを作る教員は、学生が手で解くのと同じ3×3教科書表 — 行最小が1・3・0、maximin が3、列最大が4・3・5、minimax が3、鞍点が行2列2 — を望み、マッチングペニーが鞍点なしのきれいな結果として返り、混合戦略の講義を動機づけることを望みます。

純戦略のまま小さな零和モデルを解くオペレーションズ・リサーチのノートブックは、別の最小最大ループを書く代わりにこの端点を呼べます。テストではエコーした行列と整列した鞍点一覧を固定し、成分を有限に、形を16×16以内に保てば、宿題・試験生成・軽い産業組織のメモ向けに再現可能な純戦略解が得られ、本格的なゲーム理論ソルバを立てる必要はありません。

maximin が minimax より真に小さいときは混合戦略ツールと組み合わせ、こちらは行最小が列最大に等しいセルに集中させてください。

活用例

宿題と試験での鞍点チェック

学生が利得行列を入れ、教科書の行最小／列最大の方法に照らして maximin、minimax、すべての鞍点セルを確かめます。

LMS 自動採点と学習支援

鞍点を列挙するか存在しないと報告する決定的な神託で、零和の純戦略問題を採点します。混合確率は作りません。

ノートブックの小さな零和モデル

オペレーションズ・リサーチや産業組織のコンパクトな利得表を、混合ソルバに移る前に純戦略で解きます。

よくある質問

ゲーム行列の鞍点はどう求めますか？

有限数の長方形配列として payoff を送ってください（少なくとも 2×2）。

一つのゲームに鞍点が複数ありますか？

あります。すべての鞍点セルは同じ利得（ゲームの値）を持ちます。

行と列の番号は0始まりですか、1始まりですか？

1始まりで、教科書の戦略番号と同じです。最初の行は行 1、最初の列は列 1 です。検証メッセージも同じ番号を使います。

ゲームの値とは何ですか？

鞍点があるとき、行プレイヤーが確保でき、列プレイヤーがそこまでに抑えられる利得です。この例ではマキシミンとミニマックスがともに3なので、純粋戦略でのゲームの値は3です。

マキシミンとミニマックスが一致しないとどうなりますか？

鞍点はなく、純粋戦略だけの解はありません。例えばコイン合わせではマキシミンが−1、ミニマックスが1となるため、混合戦略を考える必要があります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "payoff": [
      [
        3,
        1,
        2
      ],
      [
        4,
        3,
        5
      ],
      [
        2,
        0,
        4
      ]
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "payoff": [
        [
            3,
            1,
            2
        ],
        [
            4,
            3,
            5
        ],
        [
            2,
            0,
            4
        ]
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"payoff":[[3,1,2],[4,3,5],[2,0,4]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/econ/saddle-point-game", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "payoff": [
    [
      3,
      1,
      2
    ],
    [
      4,
      3,
      5
    ],
    [
      2,
      0,
      4
    ]
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "econ.saddle_point_game",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_rows`	16
`max_cols`	16

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

入力契約、最小最大の走査、結果の読み方

有限数の行からなる長方形配列で、最小は2×2、最大は16×16です。内側の各配列は行プレイヤーの純戦略であり、行内の各位置は列プレイヤーの一つの純戦略に対する利得です。長さの違う行は行列が長方形にならないため失敗します。NaN や無限を含む非有限セルは、1始まりの行と列を名指すメッセージで失敗します。妥当な行列では、ソルバは各行の最小と各列の最大を走査し、maximin を最大の行最小、minimax を最小の列最大に置きます。セルが鞍点であるのは、その利得が行最小かつ列最大に等しいときです。それらのセルは行優先順で、1始まりの行番号・列番号とともに並びます。必須フィールド payoff を一つ持つ JSON 本体を POST してください。ハンドラは別名 matrix、payoffs、a、game も受け付け、同じ入れ子配列に解釈される JSON 文字列も受け付けます。欠落・空・非配列の入力は payoff を名指しして invalid_input で失敗します。一覧が空でなければ has_saddle_point は true、game_value は共通の鞍点利得、row_strategy と col_strategy は最初の鞍点を便利な純戦略解として報告します。一覧が空なら has_saddle_point は false で、その三つの任意フィールドは null ではなく省略されます。応答は rows、columns、payoff、row_mins、col_maxs、maximin、minimax、saddle_count と短い formula 文字列も返します。成功した parse 呼び出しは公開の基本料金 $0.002 を一件あたり使い、検証失敗は課金されません。

鞍点ゲーム理論計算機が役立つ場面

実装は解析的な parse ティアAコードなので、成功した呼び出しはモデルトークンも外向き通信もなく $0.002 で安く済みます。

技術的な質問

maximin が minimax に等しくない場合は。

そのときゲームに純戦略の鞍点はありません。応答は has_saddle_point を false にし、空の saddle_points 配列を出し、それでも二つの安全水準を報告するので、混合戦略が埋める差が見えます。

鞍点ゲーム理論計算機の料金はいくらですか。

ブラウザの道具は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高を $0.002 使い、不正な入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

鞍点ゲーム理論計算機

無料で実行

鞍点とは何か、maximin が minimax に等しい理由

鞍点ゲーム理論計算機が役立つ場面

活用例

宿題と試験での鞍点チェック

LMS 自動採点と学習支援

ノートブックの小さな零和モデル

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

入力契約、最小最大の走査、結果の読み方

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技術的な質問

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