Équilibre de Nash mixte 2×2

Un équilibre de Nash en stratégies mixtes est un profil de distributions de probabilité sur des stratégies pures tel qu'aucun joueur ne peut augmenter son gain espéré en changeant unilatéralement son mélange. Dans un jeu en forme normale deux par deux chaque joueur a deux actions, si bien qu'un mélange est une seule probabilité sur la première action et son complément sur la seconde. La voie classique pour trouver un équilibre mixte intérieur est l'indifférence : le joueur des lignes choisit le mélange qui égalise les gains espérés du joueur des colonnes sur les deux colonnes, et celui des colonnes choisit le mélange qui égalise les gains espérés du joueur des lignes sur les deux lignes. Étudiants, tuteurs et générateurs d'examens ont besoin de ces probabilités en forme fermée à partir de huit gains sans erreurs d'algèbre. Ce calculateur d'équilibre de Nash mixte 2×2 prend les matrices de gains lignes et colonnes, renvoie les deux probabilités de mélange et les gains espérés sous le profil d'équilibre, et rejette les jeux sans équilibre mixte intérieur (par exemple avec stratégies pures dominantes).

Ce que signifie un équilibre de Nash mixte dans un jeu 2×2

Dans un jeu à coups simultanés écrit comme bimatrix, le joueur des lignes choisit une ligne et celui des colonnes une colonne ; chaque case contient une paire de gains. Un équilibre de Nash en stratégies pures est une case où aucun joueur ne souhaite une déviation unilatérale. De nombreux jeux de manuel ont aussi un équilibre en stratégies mixtes : chaque joueur randomise, et la meilleure réponse de l'autre est tout mélange qui le laisse indifférent lorsque les probabilités de l'adversaire sont fixées.

Avec deux stratégies cet équilibre intérieur est unique lorsqu'il existe : il y a exactement une probabilité p qui rend le joueur des colonnes indifférent entre Col1 et Col2, et exactement une probabilité q qui rend celui des lignes indifférent entre Row1 et Row2. Ces deux nombres sont l'équilibre de Nash en stratégies mixtes. Le jeu de la pièce est l'exemple le plus net : les deux mélangent moitié-moitié pour qu'aucun n'exploite un pure prévisible.

La poule mouillée, les jeux d'inspection et de nombreux modèles de penalty sportif utilisent la même arithmétique d'indifférence avec d'autres gains. Ce calculateur ne cherche d'abord ni les équilibres purs ni la domination : il résout directement les deux équations d'indifférence et indique si p et q se situent strictement dans l'intervalle unitaire ouvert. Lorsque c'est le cas, vous avez un profil de Nash totalement mixte ; sinon, le jeu peut encore avoir des points de Nash purs, mais pas un équilibre mixte intérieur de cette forme.

Gardez la définition liée à l'égalité des gains espérés pour que plugins LMS, corrigés et diapositives partagent une paire de mélanges reproductible sans dérive d'arrondi intermédiaire dans les tableurs.

Entrées, formules, validation et lecture du résultat

Les gains du joueur des lignes sont a11, a12, a21 et a22 pour les quatre cases en ordre ligne par ligne. Ceux des colonnes sont b11, b12, b21 et b22 dans le même ordre de cases. Le mélange d'équilibre du joueur des lignes est p égal à (b22 moins b21) divisé par (b11 moins b12 moins b21 plus b22), de sorte que Prob(Row1) vaut p et Prob(Row2) vaut un moins p.

Celui des colonnes est q égal à (a22 moins a12) divisé par (a11 moins a12 moins a21 plus a22), de sorte que Prob(Col1) vaut q et Prob(Col2) vaut un moins q. Si un dénominateur est zéro, ce joueur ne peut pas être rendu indifférent par un mélange intérieur unique et la tâche échoue. Si p ou q n'est pas strictement entre zéro et un, il n'y a pas d'équilibre de Nash mixte intérieur et la tâche échoue avec un message clair — ces échecs ne sont pas facturés.

Exemple : pièce avec gains de ligne un, moins un, moins un, un et de colonne moins un, un, un, moins un donne p égal à un demi et q égal à un demi avec gains espérés nuls. Les nombres sont arrondis à douze décimales pour des goldens stables entre runtimes.

Où un calculateur de Nash mixte 2×2 trouve sa place

Les cours d'introduction à la théorie des jeux assignent des exercices d'équilibre mixte 2×2 car l'indifférence est la première compétence concrète de Nash mixte avant les graphes de meilleure réponse et les jeux plus grands. Les plateformes de tutorat et les correcteurs LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette les jeux purement purs au lieu de renvoyer une probabilité hors de l'intervalle unitaire qu'une clé défectueuse pourrait tronquer.

Les enseignants qui construisent des banques d'exercices veulent les mêmes p et q en forme fermée que les élèves dérivent sur papier pour la pièce, les variantes de bataille des sexes qui mélangent, l'inspection et les tables à somme nulle façon penalty. Épinglez dans les tests les probabilités de mélange arrondies, gardez des gains finis, et vous obtenez des mélanges d'indifférence reproductibles pour devoirs, générateurs d'examens et carnets légers d'organisation industrielle sans déployer un solveur complet de théorie des jeux.

Associez cette capacité à des outils séparés de stratégie pure ou de matrices plus grandes lorsque vous en avez besoin ; gardez celle-ci centrée sur le profil mixte à deux joueurs et deux actions que les manuels introduisent en premier.