Gemischtes Nash 2×2

Ein gemischtes Nash-Gleichgewicht ist ein Profil von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über reine Strategien, bei dem kein Spieler den erwarteten Payoff durch einseitige Änderung der Mischung erhöhen kann. In einem Normalformspiel zwei mal zwei hat jeder Spieler zwei Aktionen, sodass eine Mischung eine einzige Wahrscheinlichkeit auf der ersten Aktion und ihr Komplement auf der zweiten ist. Der klassische Weg zu einem inneren gemischten Gleichgewicht ist Indifferenz: Der Zeilenspieler wählt die Mischung, die die erwarteten Payoffs des Spaltenspielers in beiden Spalten angleicht, und der Spaltenspieler wählt die Mischung, die die erwarteten Payoffs des Zeilenspielers in beiden Zeilen angleicht. Studierende, Tutoren und Prüfungsgeneratoren brauchen diese geschlossenen Wahrscheinlichkeiten aus acht Payoff-Zahlen ohne Algebrafehler. Dieser Rechner für gemischtes Nash-Gleichgewicht 2×2 nimmt die Payoff-Matrizen von Zeile und Spalte, liefert beide Mischungswahrscheinlichkeiten und die erwarteten Payoffs unter dem Gleichgewichtsprofil und lehnt Spiele ohne inneres gemischtes Gleichgewicht ab (zum Beispiel mit dominanten reinen Strategien).

Was ein gemischtes Nash-Gleichgewicht in einem 2×2-Spiel bedeutet

In einem Simultanzug-Spiel als Bimatrix wählt der Zeilenspieler eine Zeile und der Spaltenspieler eine Spalte; jede Zelle enthält ein Payoff-Paar. Ein reines Nash-Gleichgewicht ist eine Zelle, in der kein Spieler einseitig abweichen will. Viele Lehrbuchspiele haben auch ein Gleichgewicht in gemischten Strategien: Jeder randomisiert, und die beste Antwort des anderen ist jede Mischung, die ihn indifferent lässt, wenn die Gegnerwahrscheinlichkeiten fest sind.

Bei zwei Strategien ist dieses innere Gleichgewicht eindeutig, sofern es existiert: Es gibt genau eine Wahrscheinlichkeit p, die den Spaltenspieler zwischen Col1 und Col2 indifferent macht, und genau eine Wahrscheinlichkeit q, die den Zeilenspieler zwischen Row1 und Row2 indifferent macht. Diese beiden Zahlen sind das gemischte Nash-Gleichgewicht. Münzwurf ist das klarste Beispiel: Beide mischen halb und halb, damit niemand ein vorhersehbares reines Spiel ausnutzen kann.

Chicken, Inspektionsspiele und viele Sport-Elfmetermodelle nutzen dieselbe Indifferenzarithmetik mit anderen Payoffs. Dieser Rechner sucht nicht zuerst reine Gleichgewichte oder Dominanz: Er löst die beiden Indifferenzgleichungen direkt und meldet, ob p und q streng im offenen Einheitsintervall liegen. Wenn ja, haben Sie ein vollständig gemischtes Nash-Profil; wenn nein, kann das Spiel weiterhin reine Nash-Punkte haben, aber kein inneres gemischtes Gleichgewicht dieser Form.

Halten Sie die Definition an der Gleichheit erwarteter Payoffs fest, damit LMS-Plugins, Lösungsschlüssel und Folien ein reproduzierbares Mischpaar ohne Spreadsheet-Drift bei Zwischenrundungen teilen.

Eingaben, Formeln, Validierung und Ergebnislesen

Die Payoffs des Zeilenspielers sind a11, a12, a21 und a22 für die vier Zellen in Zeilenreihenfolge. Die des Spaltenspielers sind b11, b12, b21 und b22 in derselben Zellenreihenfolge. Die Gleichgewichtsmischung des Zeilenspielers ist p gleich (b22 minus b21) geteilt durch (b11 minus b12 minus b21 plus b22), sodass Prob(Row1) gleich p und Prob(Row2) gleich eins minus p ist.

Die des Spaltenspielers ist q gleich (a22 minus a12) geteilt durch (a11 minus a12 minus a21 plus a22), sodass Prob(Col1) gleich q und Prob(Col2) gleich eins minus q ist. Ist ein Nenner null, kann der betreffende Spieler nicht durch eine eindeutige innere Mischung indifferent gemacht werden und die Aufgabe scheitert. Liegen p oder q nicht streng zwischen null und eins, gibt es kein inneres gemischtes Nash-Gleichgewicht und die Aufgabe scheitert mit klarer Meldung — solche Fehler werden nicht berechnet.

Beispiel: Münzwurf mit Zeilenpayoffs eins, minus eins, minus eins, eins und Spaltenpayoffs minus eins, eins, eins, minus eins ergibt p gleich ein halb und q gleich ein halb mit erwarteten Payoffs null. Zahlen werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet für stabile Goldens über Runtimes.

Wo ein gemischter Nash-2×2-Rechner seinen Nutzen zeigt

Einführende Spieltheorie-Kurse vergeben 2×2-Mischgleichgewichtsübungen, weil Indifferenz die erste greifbare gemischte-Nash-Fähigkeit vor Best-Response-Graphen und größeren Spielen ist. Tutorenplattformen und LMS-Autokorrektoren brauchen ein deterministisches Orakel, das rein-nur-Spiele ablehnt statt eine Wahrscheinlichkeit außerhalb des Einheitsintervalls zu liefern, die ein fehlerhafter Schlüssel abschneiden könnte. Dozierende, die Übungsbanken bauen, wollen dieselben geschlossenen p und q, die Studierende auf Papier für Münzwurf, mischende Battle-of-the-Sexes-Varianten, Inspektion und nullsummenartige Elfmeter-Tabellen ableiten.

Pinnen Sie die gerundeten Mischungswahrscheinlichkeiten in Tests, halten Sie Payoffs endlich, und Sie erhalten reproduzierbare Indifferenzmischungen für Hausaufgaben, Prüfungsgeneratoren und schlanke Industrieorganisations-Notebooks ohne einen vollständigen Spieltheorie-Solver aufzubauen. Koppeln Sie diese Fähigkeit mit getrennten reinen-Strategie- oder größeren Matrix-Werkzeugen, wenn Sie jene brauchen; halten Sie diese auf dem Zwei-Spieler-Zwei-Aktionen-Mischprofil, das Lehrbücher zuerst einführen.