Equilibrio di Nash misto 2×2

Un equilibrio di Nash in strategie miste è un profilo di distribuzioni di probabilità sulle strategie pure tale che nessun giocatore possa aumentare il payoff atteso cambiando unilateralmente la propria mistura. In un gioco in forma normale due per due ciascun giocatore ha due azioni, quindi una mistura è una sola probabilità sulla prima azione e il suo complemento sulla seconda. La via classica per trovare un equilibrio misto interiore è l'indifferenza: il giocatore di riga sceglie la mistura che eguaglia i payoff attesi del giocatore di colonna sulle due colonne, e quello di colonna sceglie la mistura che eguaglia i payoff attesi del giocatore di riga sulle due righe. Studenti, tutor e generatori di esami necessitano di quelle probabilità in forma chiusa a partire da otto payoff senza errori algebrici. Questo calcolatore di equilibrio di Nash misto 2×2 prende le matrici di payoff di riga e colonna, restituisce entrambe le probabilità di mistura e i payoff attesi sotto il profilo di equilibrio, e rifiuta i giochi senza equilibrio misto interiore (ad esempio con strategie pure dominanti).

Cosa significa un equilibrio di Nash misto in un gioco 2×2

In un gioco a mosse simultanee scritto come bimatrix, il giocatore di riga sceglie una riga e quello di colonna una colonna; ogni cella contiene una coppia di payoff. Un equilibrio di Nash in strategie pure è una cella in cui nessun giocatore vuole una deviazione unilaterale. Molti giochi da manuale hanno anche un equilibrio in strategie miste: ciascun giocatore randomizza, e la migliore risposta dell'altro è qualsiasi mistura che lo lasci indifferente quando le probabilità dell'avversario sono fisse.

Con due strategie quell'equilibrio interiore è unico quando esiste: c'è esattamente una probabilità p che rende il giocatore di colonna indifferente tra Col1 e Col2, ed esattamente una probabilità q che rende quello di riga indifferente tra Row1 e Row2. Quei due numeri sono l'equilibrio di Nash in strategie miste. Il gioco della moneta è l'esempio più limpido: entrambi mescolano metà e metà così nessuno sfrutta un pure prevedibile.

Pollo, giochi di ispezione e molti modelli di rigore sportivo usano la stessa aritmetica di indifferenza con payoff diversi. Questo calcolatore non cerca prima equilibri puri né domina strategie: risolve direttamente le due equazioni di indifferenza e riferisce se p e q giacciono strettamente nell'intervallo unitario aperto. Quando lo fanno, Lei ha un profilo di Nash totalmente misto; quando no, il gioco può ancora avere punti di Nash puri, ma non un equilibrio misto interiore di questa forma.

Mantenga la definizione legata all'uguaglianza dei payoff attesi affinché plugin LMS, chiavi di risposta e diapositive condividano una coppia di misture riproducibile senza deriva di arrotondamento intermedio nei fogli di calcolo.

Input, formule, validazione e come leggere il risultato

I payoff del giocatore di riga sono a11, a12, a21 e a22 per le quattro celle in ordine per riga. Quelli di colonna sono b11, b12, b21 e b22 nello stesso ordine di celle. La mistura di equilibrio del giocatore di riga è p uguale a (b22 meno b21) diviso per (b11 meno b12 meno b21 più b22), così Prob(Row1) vale p e Prob(Row2) vale uno meno p.

Quella di colonna è q uguale a (a22 meno a12) diviso per (a11 meno a12 meno a21 più a22), così Prob(Col1) vale q e Prob(Col2) vale uno meno q. Se un denominatore è zero, quel giocatore non può essere reso indifferente da una mistura interiore unica e l'attività fallisce. Se p o q non sono strettamente tra zero e uno, non c'è equilibrio di Nash misto interiore e l'attività fallisce con un messaggio chiaro — tali fallimenti non vengono addebitati.

Esempio: moneta con payoff di riga uno, meno uno, meno uno, uno e di colonna meno uno, uno, uno, meno uno dà p uguale a un mezzo e q uguale a un mezzo con payoff attesi zero. I numeri sono arrotondati a dodici decimali per goldens stabili tra runtime.

Dove un calcolatore di Nash misto 2×2 rende utile

I corsi introduttivi di teoria dei giochi assegnano esercizi di equilibrio misto 2×2 perché l'indifferenza è la prima abilità concreta di Nash misto prima dei grafici di migliore risposta e dei giochi più grandi. Le piattaforme di tutoraggio e i correttori LMS necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti i giochi solo puri invece di restituire una probabilità fuori dall'intervallo unitario che una chiave difettosa potrebbe tagliare.

I docenti che costruiscono banche di esercizi vogliono le stesse p e q in forma chiusa che gli studenti derivano su carta per moneta, varianti di battaglia dei sessi che mescolano, ispezione e tabelle a somma zero stile rigore. Fissi nei test le probabilità di mistura arrotondate, mantenga payoff finiti e otterrà misture di indifferenza riproducibili per compiti, generatori di esami e notebook leggeri di organizzazione industriale senza erigere un solutore completo di teoria dei giochi.

Abbini questa capacità a strumenti separati di strategia pura o matrici più grandi quando ne ha bisogno; tenga questa centrata sul profilo misto a due giocatori e due azioni che i manuali introducono per primi.