Equilíbrio de Nash misto 2×2

Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas é um perfil de distribuições de probabilidade sobre estratégias puras tal que nenhum jogador consegue aumentar o pagamento esperado mudando unilateralmente a sua mistura. Em um jogo em forma normal dois por dois cada jogador tem duas ações, de modo que uma mistura é uma única probabilidade na primeira ação e o complemento na segunda. O caminho clássico para achar um equilíbrio misto interior é a indiferença: o jogador de linhas escolhe a mistura que iguala os pagamentos esperados do jogador de colunas nas duas colunas, e o de colunas escolhe a mistura que iguala os pagamentos esperados do de linhas nas duas linhas. Estudantes, tutores e geradores de prova precisam dessas probabilidades em forma fechada a partir de oito pagamentos sem erros de álgebra. Esta calculadora de equilíbrio de Nash misto 2×2 recebe as matrizes de pagamento de linhas e colunas, devolve ambas as probabilidades de mistura e os pagamentos esperados sob o perfil de equilíbrio, e rejeita jogos sem equilíbrio misto interior (por exemplo com estratégias puras dominantes).

O que significa um equilíbrio de Nash misto em um jogo 2×2

Em um jogo de movimento simultâneo escrito como bimatrix, o jogador de linhas escolhe uma linha e o de colunas uma coluna; cada célula guarda um par de pagamentos. Um equilíbrio de Nash em estratégias puras é uma célula em que nenhum jogador quer desviar-se unilateralmente. Muitos jogos de livro também têm equilíbrio em estratégias mistas: cada jogador randomiza, e a melhor resposta do outro é qualquer mistura que o deixe indiferente quando as probabilidades do oponente estão fixas.

Com duas estratégias esse equilíbrio interior é único quando existe: há exatamente uma probabilidade p que deixa o jogador de colunas indiferente entre Col1 e Col2, e exatamente uma probabilidade q que deixa o de linhas indiferente entre Row1 e Row2. Esses dois números são o equilíbrio de Nash em estratégias mistas. O jogo de moedas é o exemplo mais limpo: ambos misturam metade e metade para que ninguém explore um pure previsível.

Galinha, jogos de inspeção e muitos modelos de pênalti esportivo usam a mesma aritmética de indiferença com outros pagamentos. Esta calculadora não busca primeiro equilíbrios puros nem domina estratégias: resolve diretamente as duas equações de indiferença e informa se p e q caem estritamente dentro do intervalo unitário aberto. Quando caem, você tem um perfil de Nash totalmente misto; quando não, o jogo ainda pode ter pontos de Nash puros, mas não um equilíbrio misto interior desta forma.

Mantenha a definição ligada à igualdade de pagamentos esperados para que plugins LMS, gabaritos e slides compartilhem um par de misturas reproduzível sem deriva de arredondamento intermediário em planilhas.

Entradas, fórmulas, validação e como ler o resultado

Os pagamentos do jogador de linhas são a11, a12, a21 e a22 para as quatro células em ordem por linhas. Os do de colunas são b11, b12, b21 e b22 na mesma ordem de células. A mistura de equilíbrio do jogador de linhas é p igual a (b22 menos b21) dividido por (b11 menos b12 menos b21 mais b22), de modo que Prob(Row1) é p e Prob(Row2) é um menos p.

A do de colunas é q igual a (a22 menos a12) dividido por (a11 menos a12 menos a21 mais a22), de modo que Prob(Col1) é q e Prob(Col2) é um menos q. Se algum denominador for zero, esse jogador não pode ficar indiferente com uma mistura interior única e a tarefa falha. Se p ou q não estiverem estritamente entre zero e um, não há equilíbrio de Nash misto interior e a tarefa falha com mensagem clara — essas falhas não são cobradas.

Exemplo: moedas com pagamentos de linha um, menos um, menos um, um e de coluna menos um, um, um, menos um dá p igual a um meio e q igual a um meio com pagamentos esperados zero. Os números são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes.

Onde uma calculadora de Nash misto 2×2 rende valor

Cursos introdutórios de teoria dos jogos passam exercícios de equilíbrio misto 2×2 porque a indiferença é a primeira habilidade concreta de Nash misto antes de gráficos de melhor resposta e jogos maiores. Plataformas de tutoria e autocorretores LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite jogos só puros em vez de devolver probabilidade fora do intervalo unitário que um gabarito defeituoso poderia cortar.

Instrutores que montam bancos de prática querem as mesmas p e q em forma fechada que os alunos derivam no papel para moedas, variantes de batalha dos sexos que misturam, inspeção e tabelas de soma zero no estilo pênalti. Fixe nas testes as probabilidades de mistura arredondadas, mantenha pagamentos finitos e você obtém misturas de indiferença reproduzíveis para tarefas, geradores de prova e cadernos leves de organização industrial sem montar um solucionador completo de teoria dos jogos.

Combine esta capacidade com ferramentas separadas de estratégia pura ou matrizes maiores quando precisar; mantenha esta focada no perfil misto de dois jogadores e duas ações que os livros apresentam primeiro.