Premier précédent
Trouve le plus grand premier strictement inférieur à votre nombre : sous 10 se trouvent 2, 3, 5 et 7, la réponse est donc 7. Cela fonctionne pour tout entier supérieur à 2 jusqu'à mille milliards, avec la même réponse exacte à chaque fois. Gratuit dans votre navigateur.
- Gratuit
- Fonctionne dans votre navigateur
- Sans inscription
- Vos données restent sur votre appareil
Lancer gratuitement
Exemple résolu
- N
- 10
- Premier précédent
- 7
Chercher le premier qui se situe immédiatement sous un entier donné est une étape courante dans les devoirs de théorie des nombres, les problèmes de concours et les expériences cryptographiques qui ont besoin d'une graine première proche.
Ce que « premier précédent » signifie et quand il est défini
Le premier précédent d'un entier n est le plus grand nombre premier strictement plus petit que n. Par exemple, lorsque n vaut 10 les premiers en dessous sont 2, 3, 5 et 7, donc le premier précédent est 7. Lorsque n lui-même est premier — disons n égal à 17 — le premier précédent reste celui en dessous, qui est 13, pas 17 ; la définition ne renvoie jamais n.
La notion n'est définie que lorsqu'au moins un premier existe sous n. Comme 2 est le plus petit premier, aucun entier inférieur ou égal à 2 n'a de premier précédent : il n'existe rien de strictement plus petit qui soit premier. Ce contrat correspond aux manuels et aux énoncés de concours de programmation qui demandent le plus grand premier inférieur à n sans inventer de réponse là où aucune n'existe.
En interne le moteur parcourt les candidats depuis n moins un vers le bas et teste chacun par une vérification de primalité déterministe jusqu'à l'apparition du premier premier.
Écarts entre premiers, limites et usages pratiques
Les écarts entre premiers croissent lentement en moyenne : près d'une taille x la distance typique entre premiers consécutifs est de l'ordre du logarithme naturel de x, si bien qu'une courte descente depuis n trouve en général le premier précédent après seulement quelques candidats. Si vous avez besoin du premier précédent d'un entier de taille cryptographique, il vous faut une pile d'entiers grands dédiée et un moteur de primalité plus fort ; cette capacité légère de parse n'est pas cet outil.
En pratique les enseignants utilisent le premier précédent pour illustrer des questions de type Bertrand, les élèves pour vérifier des calculs à la main avant de rendre des preuves, et les développeurs lorsqu'un protocole ou une règle de jeu a besoin du plus grand premier sous un niveau, un score ou une taille de seau.
Cas d’usage
Vérifier devoirs et réponses « plus grand premier sous n »
Élèves et coachs peuvent vérifier le plus grand premier inférieur à une borne sans lister les premiers à la main ni risquer des erreurs d'un lorsque n lui-même est premier.
Amorcer des premiers proches dans scripts et tests de propriétés
Les générateurs qui ont besoin d'un premier strictement sous une taille, un score ou une longueur de table peuvent appeler cette étape déterministe au lieu d'embarquer leur propre division d'essai.
Questions fréquentes
Quel est le premier précédent de n ?
C'est le plus grand premier strictement inférieur à n.
Quelle est la valeur maximale de n ?
n doit être un entier supérieur à 2 et au plus 10^12 (un billion). Les valeurs plus grandes nécessitent une pile de primalité multiprécision hors de cette capacité.
Que se passe-t-il si mon nombre est déjà premier ?
Vous obtenez quand même le premier situé en dessous, jamais le nombre lui-même. Pour 17, la réponse est 13, car le premier précédent doit être strictement plus petit que le nombre saisi.
Pourquoi 2 n'a-t-il pas de premier précédent ?
Parce que 2 est le plus petit nombre premier : aucun premier ne se trouve en dessous. Le nombre doit donc être supérieur à 2 ; pour 3, la réponse est 2.
Faut-il descendre loin pour trouver le premier précédent ?
En général non. Près d'une taille x, l'écart moyen entre deux premiers voisins est de l'ordre du logarithme naturel de x, si bien que quelques candidats suffisent le plus souvent.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/prev-prime \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/prev-prime", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/prev-prime",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/prev-prime", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/prev-prime", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 10
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.prev_prime",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce chercheur de premier précédent prend un entier n supérieur à 2 et renvoie le plus grand premier strictement inférieur à n — division d'essai déterministe, sans échantillonnage, et gratuit à essayer dans votre navigateur avant de brancher le même noyau dans des scripts via l'API.
Ce que « premier précédent » signifie et quand il est défini
Cette capacité exige donc n supérieur à 2 et répond par invalid_input si vous envoyez 2, 1, 0 ou une valeur négative. Vous n'obtenez jamais un « peut-être » probabiliste Miller–Rabin ; pour tout n accepté dans la plage l'entier previous_prime est exact et reproductible entre le navigateur et les chemins API.
Comment appeler l'API et ce qui est renvoyé
Utilisez-la dans des pipelines de devoirs, des générateurs de tests basés sur les propriétés qui ont besoin d'une borne première proche, ou tout flux qui veut un prédécesseur reproductible sans installer un système de calcul formel ni réécrire la division d'essai à la main. Envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire n — un entier strictement supérieur à 2 et au plus un billion (10^12). Les alias number et value sont acceptés pour le même champ afin que formulaires et clients écrits à la main puissent utiliser l'étiquette naturelle. En cas de succès la réponse inclut n tel qu'accepté et previous_prime comme le plus grand premier strictement inférieur à ce n. Contrôles typiques : n de 3 donne previous_prime 2 ; n de 100 donne 97 ; n de 1000 donne 997. Une validation échouée — n manquant, non entier, fraction, valeur inférieure ou égale à 2, ou valeur au-dessus du maximum publié — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. Le tarif est un $0.002 forfaitaire par requête réussie (unité item avec prix marginal nul).
Écarts entre premiers, limites et usages pratiques
Des écarts pathologiques existent pourtant, c'est pourquoi cette capacité plafonne n à un billion — assez grand pour les problèmes de classe, de nombreux concours de programmation et des expériences crypto légères, et assez petit pour que la primalité par division d'essai reste interactive sur le chemin pur du Worker sans bibliothèques multiprécision. Couplez-le à une routine de premier suivant si vous avez besoin de la paire voisine complète ; cet endpoint répond délibérément uniquement au côté strictement-inférieur-à pour que l'intention de recherche reste claire et la réponse minimale.
Cas d'intégration
Illustrer les écarts entre premiers dans le matériel pédagogique
Comparez n avec previous_prime sur une plage de valeurs pour montrer comment se comportent les écarts sans construire une table complète de premiers dans le cahier de cours.
Questions techniques
Pourquoi n = 2 est-il rejeté ?
2 est le plus petit premier, donc aucun premier n'existe strictement en dessous. Les valeurs de n inférieures ou égales à 2 renvoient invalid_input.
Comment fonctionne le chercheur de premier précédent ?
Il parcourt les candidats de n − 1 vers le bas et teste chacun par division d'essai déterministe jusqu'à trouver un premier, puis renvoie cet entier comme previous_prime.
Le chercheur de premier précédent est-il gratuit ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute localement. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par requête réussie ; les tâches échouées ne sont jamais facturées.