Position oscillateur amorti
Avec une amplitude de 1, un taux de décroissance de 0,2, une pulsation de 2 et un déphasage nul, la position à l’instant 1 vaut −0,340712212877 sous une enveloppe de 0,818730753078. Saisissez les cinq valeurs pour évaluer le cosinus amorti à tout moment. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Amplitude
- 1
- Taux d'amortissement
- 0,2
- Oméga
- 2
- Phase
- 0
- Temps
- 1
- Enveloppe
- 0,8187307531
- Argument
- 2
- Position
- -0,3407122129
Les oscillateurs harmoniques sous-amortis apparaissent dès qu'une force de rappel rivalise avec un frottement léger : amortisseurs masse-ressort, circuits RLC réécrits en EDO du second ordre, instruments sismiques et tout cours d'équations différentielles qui traite la vibration libre. La position en forme fermée est une sinusoïde à décroissance exponentielle, non un sinus pur, de sorte que le calcul à la main mêle une enveloppe exponentielle au cosinus de la fréquence amortie et de la phase.
La forme fermée sous-amortie et le sens de chaque symbole
Dans ce régime la fréquence propre ω₀ est la racine carrée de k sur m, le taux de décroissance β vaut ζ ω₀ (ou c sur 2m en notation visqueuse), et la fréquence angulaire amortie ω est ω₀ multipliée par la racine de un moins ζ au carré.
La position de réponse libre qui satisfait les conditions initiales s'écrit toujours x de t égale à A fois e à la puissance moins β t fois le cosinus de ω t plus φ, où A et φ absorbent le déplacement et la vitesse initiaux. Ce point d'accès ne résout pas à nouveau l'équation caractéristique à partir de m, c et k ; il évalue cette solution sous-amortie déjà réduite à l'instant choisi. L'amplitude A peut être positive ou négative et ne fait que mettre le mouvement à l'échelle.
Le taux β doit être non négatif pour que l'enveloppe se contracte ou reste constante plutôt que d'exploser. La fréquence angulaire ω doit être strictement positive pour que le mouvement soit vraiment oscillatoire ; les cas critique et suramorti utilisent d'autres formules exponentielles réelles et sont hors périmètre. La phase φ se mesure en radians, comme dans les manuels de calcul et de physique, et le temps t peut être tout réel fini afin que vous évaluiez des échantillons passés ou futurs sur une grille de simulation.
Où ce calcul rend service
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de position d'oscillateur amorti pour que les élèves vérifient les devoirs de vibration libre sans déplacer le facteur de décroissance ni convertir des degrés de phase par erreur. Les générateurs d'examens et les plugins LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette un ω non positif et un β négatif plutôt que de renvoyer silencieusement un succès sans sens.
Les carnets de conception mécanique échantillonnent x de t sur une grille temporelle pour dimensionner des amortisseurs et contrôler les jeux avant le CAD ; un minuscule point d'accès parse évite d'embarquer un solveur d'EDO complet pour une seule évaluation en forme fermée. Les scripts d'instrumentation qui convertissent ζ et ω₀ mesurés en β et ω peuvent encore appeler cette capacité une fois ces paramètres connus, en gardant le cœur numérique petit et testable.
Cas d’usage
Contrôles de vibration libre en classe
Permettez aux élèves d'envoyer A, β, ω, φ et t pour x(t) sous-amorti et de vérifier la position, l'enveloppe et l'argument du cosinus face aux méthodes du manuel.
Notation automatique LMS et examens
Notez les items d'oscillateur sous-amorti avec un oracle déterministe qui rejette les taux de décroissance négatifs et un ω non positif comme entrée invalide.
Carnets de conception et échantillonnage des jeux
Échantillonnez la réponse libre amortie en forme fermée sur une grille temporelle pour dimensionner des amortisseurs ou contrôler des enveloppes mécaniques sans intégrateur d'EDO complet.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si omega est nul ou négatif ?
L'oscillation sous-amortie exige une fréquence angulaire amortie ω positive pour que le cosinus oscille en temps réel.
La phase est-elle en degrés ou en radians ?
En radians uniquement, selon la notation standard de calcul et de physique pour cos(ωt+φ). Convertissez les degrés en radians avant l'appel si vos données sont en degrés.
Comment obtenir le taux de décroissance et la pulsation à partir de la masse, de l'amortissement et de la raideur ?
La pulsation propre est la racine carrée de k sur m, le taux de décroissance vaut c divisé par deux fois m, et la pulsation amortie est la pulsation propre multipliée par la racine de un moins le carré du taux d'amortissement. Saisissez ici ces valeurs réduites.
Que représente l'enveloppe dans le résultat ?
C'est l'amplitude multipliée par e puissance moins le taux de décroissance fois le temps : la borne décroissante dans laquelle oscille le cosinus. Avec une amplitude de 1 et un taux de 0,2, elle vaut 0,818730753078 à l'instant 1.
Puis-je calculer la position à un instant négatif ?
Oui. Le temps peut être n'importe quel réel fini, ce qui permet d'échantillonner des instants passés ou futurs sur une grille de simulation. L'amplitude peut aussi être négative ou nulle ; elle met simplement à l'échelle tout le mouvement.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.damped_oscillator_position",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce calculateur de position d'oscillateur amorti accepte l'amplitude A, le taux de décroissance β, la fréquence angulaire amortie ω, la phase φ en radians et le temps t, puis renvoie la position numérique avec l'enveloppe et l'argument du cosinus. Des taux de décroissance invalides ou un ω non positif échouent avec invalid_input au lieu d'inventer une réponse croissante ou non oscillatoire.
La forme fermée sous-amortie et le sens de chaque symbole
Un système linéaire masse-ressort-amortisseur d'équation mẍ + cẋ + kx = 0 est sous-amorti lorsque le rapport d'amortissement ζ est strictement inférieur à un.
Contrat d'entrée, champs de réponse et erreurs de validation
Si omega est nul ou négatif, le mouvement n'est pas une oscillation sous-amortie à fréquence amortie réelle, de sorte que l'appel échoue au lieu de renvoyer une exponentielle pure ou un cosinus complexe. En cas de succès le corps renvoie les cinq entrées et ajoute envelope égal à A fois e à moins β t, argument égal à ω t plus φ en radians, position égal à l'enveloppe multipliée par le cosinus de l'argument, et une chaîne formula qui réécrit x de t égale à A e à moins β t fois cosinus de ω t plus φ. Envoyez en POST un corps JSON avec cinq nombres finis obligatoires : amplitude, decay_rate, omega, phase et time. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; champs manquants, chaînes vides et valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant le champ. Si decay_rate est négatif, le gestionnaire rejette la requête car une exponentielle croissante n'est pas la réponse libre passive sous-amortie. Les valeurs par défaut d'exemple amplitude un, decay_rate zéro virgule deux, omega deux, phase zéro, time un produisent un échantillon de cosinus amorti que vous pouvez vérifier avec toute calculatrice scientifique. Une validation échouée n'est pas facturée ; les appels parse réussis utilisent le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Où une API de position d'oscillateur amorti apporte de la valeur
Comme l'implémentation est parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le $0.002 publié sans comptage de jetons.
Questions techniques
Comment calculer la position x(t) d'un oscillateur sous-amorti ?
Envoyez des nombres finis amplitude A, decay_rate β (≥0), omega ω (>0), phase φ en radians et time t. L'API renvoie x = A·e^{-βt}·cos(ωt+φ) plus l'enveloppe et l'argument du cosinus.
decay_rate peut-il être zéro ?
Oui. β = 0 est la limite non amortie de la même formule (cosinus pur). Un β négatif est rejeté car une enveloppe croissante n'est pas la réponse libre passive.
Combien coûte le calculateur de position d'oscillateur amorti ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.